2次方程式 解の公式の導き方で

質問

中学数学を復習していたのですが
２次方程式ax²＋ｂｘ＋ｃ＝０を
解の公式ｘ=－ｂ±√b²－４ac/2a
にする問題がありました。その問題を解いていき、
a(ｘ^2＋ｂ/ax)＋ｃ＝０
(ｘ＋ｂ/2a)^2＝ｘ^2＋ｂ/ax＋(ｂ/2a)^2
a{(x＋b/2a)^2－(ｂ/2a)^2}＋ｃ＝０
a(x＋b/2a)^2－a(b/2a)^2＋ｃ＝０
a(x＋b/2a)^2－b^2/4a＋ｃ＝０
ここまでは理解できたのですがその次の
a(x＋b/2a)^2　－b^2－４ac/4aの部分の－b^2－４ac/4aがなぜ－符号になるのかがわかりません。なぜ－b^2＋４ac/4aにならないのでしょうか？

わかりにくい表記でとてつもなく初歩的なことだと思いますがわかるように回答していただけたらうれしいです。

回答No.10

noname#49614 · ベストアンサー

＃３、＃７です

＞文字を含む分数計算の仕方が
残念ながら文字とは関係なく間違っています。
この際ですから数にして例を挙げます。

-5+9
これが4なのは分かりますよね？
では
-5+9
=-(5-9)
=-(-4)
=4
これではどうでしょうか？

＞＋Cを-（－）に何故変えるのかという事が
その変換の単独で理由を考えないでください。-の符号は全体の頭にあるほうがわかりやすいということです。

お礼

お礼が遅くなりスミマセン。呆れずに何度も質問に答えていただき本当にありがとうございました。

わかりやすく、なんども質問に答えていただいたおかげでなんとかこの問題を完全に理解することができました。

この質問を投稿したときは正直これほど丁寧で迅速に質問に答えていただけるとは思っていませんでしたので非常にうれしく思いました。

私のまわりには数学のことを質問できる人がいないので本当に助かりました。ありがとうございました。

回答No.9

change-11

再び＃６です。
＞＋Cを-（－）に何故変えるのかという事がわかりません・・・。
式変形に慣れるとｃ＝－(－ｃ）という変形を考えなくてもいいのですが、質問者さんが符号で悩んでいるようだったので符号の動きが分かるように無理矢理ｃにマイナスが付く形に変形しました。

ところで質問者さんは
　　　Ａ＋Ｂ　　　　　　　　－（Ａ＋Ｂ）
－　―――――　＝　―――――　　　　　←分数式の前のマイナスは
　　　　Ｃ　　　　　　　　　　　Ｃ　　　　　　　　　分子全体にかかる
というのは知っていますか？

お礼

お礼が遅くなりスミマセン。何度も質問に答えていただき本当にありがとうございます。

やっとこの問題を完全に理解し解けるようになりました。

回答者様にこんなに初歩的な質問に呆れずに何度も丁寧に答えていただいたおかげです。

分数式の前のマイナスは分子全体にかかることは知っていたのですが・・・。久しぶりの数学でなにがなんだかよくわからなくなっていました。

丁寧に回答していただき本当にありがとうございました。

回答No.8

change-11

#６です。
＞なぜ　－b^2/4a＋ｃ＝－ｂ^2/4a－(－ｃ)　になるのでしょうか？

まず　(マイナス)×(マイナス)＝（プラス）
というのは大丈夫でしょうか？
これをふまえたうえで考えると

－(－ｃ)　と　ｃ　は全く同じものだと言うことが分かります。

だから上の式が成り立つわけです。

お礼

再び疑問に答えていただき本当にありがとうございます。

(マイナス)×(マイナス)＝（プラス）というのは理解できるのですが
＋Cを-（－）に何故変えるのかという事がわかりません・・・。
（おそらくものすごく初歩的なことなのでしょうが・・・。）

親切に教えてくださっているのに理解しきれずすみません。

回答No.7

noname#49614

＃３です

-(b^2-4ac)について補足を。
まず簡単に言うと「マイナスのマイナスはプラス」です。
+4acは(-1)×(-4ac)ですよね。
つまり-b^2+4acは
(-1)×b　+　(-1)×(-4ac)
なので(-1)でくくって-(b^2-4ac)となります。

もしくはこうです。

-b^2
------
4a

これを

b^2
-----
-4a

と考えてください。
そうするとcが

-4ac
------
-4a

になりますね。

つまり

b^2-4ac
---------
-4a

の状態です。

ここから分母のマイナスを外にだす、と考えれば自然につながりませんか？

お礼

再び回答していただき本当にありがとうございます。
おかげさまで-（-）にするとうまく答えが合うというのはわかりました。
ただ本当に初歩的で申しわけないのですが、なぜ+を-（-）にして計算するのかがわかりません。普通に計算すると

　　b^2　　　 4ac 　　　　b^2 － 4ac 　　　 　　　　　　　　　b^2 ＋4ac　
- ----- ＋　----- =　-------------- もしくは　 -　　---------
　　　4a 　　　　4a　 　　　　4a　　　　　　　　　　　　 　　　　　4a

になってしまうような気がします。文字を含む分数計算の仕方が間違っているのでしょうか？

回答No.6

change-11

a(x＋b/2a)^2－b^2/4a＋c＝０
この式から問題の部分を抜き出して考えましょう。
－b^2/4a＋c＝－b^2/4a－(－c）
　　　　　　＝－(b^2/4a－c）　　 　　　←マイナスでくくって
　　　　　　＝－(b^2/4a－4ac/4a) 　　←分母をそろえて
　　　　　　＝－(b^2－4ac)/4a　　　　←1/4aでくくって
なのでやはり問題の符号はマイナスになります。

お礼

回答ありがとうございます。
すみませんかなり初歩的なことがわかっていないみたいです・・・。

なぜ－b^2/4a＋c＝－b^2/4a－(－c）

　　　b^2　　　　　　　　　　　　　　　b^2
－　ーーーー　＋　ｃ＝　－　ーーーーー　－(－Ｃ）
　　　4a 　 　　　　　　　　　　　 　　4a

になるのでしょうか？
お教えいただけたらうれしいです。

回答No.5

debukuro

ax&sup2
この項は
aかけるｘの二乗でしょう
平方根じゃ解けません

お礼

回答ありがとうございます。
すみませんよくわかりませんでした。

回答No.4

hiro1122

－b^2/4a＋ｃ　のｃを４aの分母に乗せるときは確かに＋４acとなりますが、
－が外についている４aの分母に乗せるときは－４aｃ

となるのです。
　　　　　b^2－４ac
－　－－－－－－－－－　となっているはずです。　
　　　　　　　4a

お礼

回答ありがとうございます。
実は回答者さんが説明していただいたあたりが一番の謎でした。
（まだ多少混乱してます。）
　　　ｂ＾２　　　　　　　　　　４ac
－　－－－－ー　＋　　－－－－－
　　　　4a 　　　　　　　　　　　4a

　　　　　b^2－４ac
=　 － －－－－－－　 ってことですよね？　
　　　　　　　4a

未だに　　　　 b^2＋４ac
　　　　　- －－－－－－－－－
　　　　　　　　　4a
もしくは　 　　- b^2＋４ac
　　　　　 －－－－－－－－－
　　　　　　　　　4a

にならないことが不思議だったりします。正負の計算からやり直したほうがいいのかもしれません・・・。

回答No.3

noname#49614

すみませんが見づらいので一から書きます
それに質問者さんの書いている式もどこか間違っているような。

ax^2+bx+c=0
a(x^2+ b/a x) = -c
(x^2+ b/a x) = -c/a
(x+ b/2a)^2 - b^2/a^2 = -c/a
(x+ b/2a)^2 = b^2/a^2 - c/a
(x+ b/2a)^2 = (b^2 -4ac)/a^2
x+ b/2a = ±√(b^2 -4ac)/a
x = -b/2a ±√(b^2 -4ac)/a
= {-b±√(b^2 -4ac)}/2a

以上です。

お礼

回答ありがとうございます。
パソコンで数式を書くのが初めてで見づらくなってしまいすみません。
解の公式を導くことができました。ありがとうございます。

回答No.2

KappNets

あなたの説明が飲み込みにくいのですが、符号がわかりやすいように解の公式を導けば良いのですね？下記の手順でいかがですか？
x^2+(b/a)*x+(c/a)=0
[x+(b/a)/2]^2-(b/a)^2/4+(c/a)=0
[x+(b/a)/2]^2=(b/a)^2/4-(c/a)
[x+(b/a)/2]=+ (or -)[(b/a)^2/4-(c/a)]^(1/2)
x=-(b/a)/2 + (or -)[(b/a)^2/4-(c/a)]^(1/2)

お礼

回答ありがとうございます。
テキストとは違う導き方で大変参考になりました。

回答No.1

himajin100000

何か本が間違っているか，本の内容を見間違えてません？

a(x＋b/(2a))^2-b^2/(4a)+c＝0
a(x＋b/(2a))^2-b^2/(4a)+4ac/(4a) =0
a(x＋b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a) = 0 //括弧が付く
a(x＋b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a) = 0
a(x＋b/(2a))^2 = (b^2-4ac)/(4a)　//移項
(x＋b/(2a))^2 = (b^2-4ac)/(4a^2)
x＋b/(2a) = ±√{(b^2-4ac)/(4a^2)}
x＋b/(2a) = ±√{(b^2-4ac)}/√{(2a)^2}
x＋b/(2a) = ±√{(b^2-4ac)}/(2a)
x = - b/(2a) ±√{(b^2-4ac)}/(2a)
x = [ - b ±√{(b^2-4ac)}]/(2a)

で何の問題もないかと

お礼

回答ありがとうございました。無事答えまでたどりつくことができました。