二次方程式で実数解が無いとは解が無いとは言ってない

質問

y=ax^2+bx+cの二次方程式の話ですが、解の公式のb^2-4acでマイナスの数になるとルートが取れなくて「実数解なし」ってなりますよね。

でも、実数解が無いって言ってるだけで本当は解があるのかなぁ・・・、と疑問です。

なんだかiとかって虚数？があるのは知ってますが、そういうので何か実数ではない解が出せるのでしょうか。仮に出せるとして、それはいったいどういう意味を持つのですか。

数学は中３～高１レベルだと思いますm(_ _)m

計算方法はそんなに理解できないと思うので本質が気になっています。解とは何？とか。

回答No.6

DJ-Potato · ベストアンサー

#1です。

虚数を含めて議論すると、ｎ次方程式には常にｎ個の解がある、と一般法則が生まれます。

ちなみに、すべての係数が実数のｎ次方程式では、虚数解は x = a±bi の形で常にペアになります。
だから、虚数解は０個か２個か４個か６個か・・・で、残りが実数解です。
係数がすべて実数の３次方程式で、実数解２個　虚数解１個はありえないのです。
しかも、重解は２つとカウントするんですね。
無理やりｎ個にしてる感じはありますが、まぁそれで矛盾のない一般論ができるので、OKなんじゃないですかね。

虚数解がｘ軸と交差する点は、紙の上にはありません。
虚数はa+biの形でaとbの２つの変数を以て表現しますので、ｘ ひとつで２次元なんです。
3次元図形を紙の上に描けないのと同様に、紙の手前とか奥で交わっているところがあるのでしょうね。

お礼

２回もご回答ありがとうございます！！

虚数解は x = a±bi の形で常にペアで出てくるとのことで方程式の次数が上がってきても、その次数×２個の虚数解が出てくるわけですね。

ところで、一番、興味がある虚数解がｘ軸と共有点を持つのかについて、紙の上には無いわけですか。

虚数がa+biの形だから、y=0のときのx軸との共有点を考えるとすると、x=a+biまたはx=a-biがx軸との共有点となるはずで、でも、x軸は線なのにa+bi、a-biを考えるときには２次元（平面ということ？）になってしまう。

だから、その共有点はx軸のどこにあるの？と考えても、x軸y軸で作った平面上ではなくて、x軸の紙から出た手前とか奥できっと交わっているのだろうとのことですね。

面白いです。分かってきました！！

回答No.7

hashioogi

Q. 本質が気になっています

A. 小学校の算数は具体的でした。例えばリンゴ2個とリンゴ3個を足すとリンゴはいくつになりますか ?　みたいに。数学の黎明期もそうだったと思います。でもだんだん具体から離れることで数学は進歩してきたようです。例えばy=ax^2+bx+cについて考えるとすると、xは何でしょうか ?　長さでしょうか、重さでしょうか、時間でしょうか ?　長さだとするとx^2は正方形の面積になります。面積（ax^2）と長さ（bx）と定数（c）を足して出てきた値（y）は一体何ですか ?　実生活で面積と長さを加算する計算なんてしますか ?　x^3は立方体の体積になりますがx^4は ?　x^5は ?　つまり数学は計算の具体的な意味から段々と離れていくわけです。その延長上に複素数もあるのではないでしょうか ?

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答者様にコメントいただいたことはとても本質的だと思います。補足にも書きましたが、数学として普通にやってる二次関数でさえ、現実との接点が怪しく不思議なものだと思いました。

具体的なものから離れていって、その延長線上に複素数がある。二次関数のところで、すでに現実から離れているのに複素数を現実的に理解しようと思うとかなり難解です。

いったい、数学者はそれをどう捉えているのですかね。

補足

xを長さとすると、yは何を求めてるのか分からなくなりました。こんなこと初めて考えさせられましたよ。

数学が計算の具体的な意味から段々離れていくのはなぜなのか、回答者様はどう考えているのですか。聞いてみたくなりました。

私などは具体的な意味からどんどん離れていけば空想を空想で説明するようなもので意味がなくなっていく気がするのです。

お礼はすみません。前の方からと思っているので、補足だけさせていただきました。

回答No.5

noname#145142

あると　思うね、虚数とかで誤魔化しているけど　あれは数学的パラドックスが発生したら無理やり虚数とか言い出してるんだよ。そしないと今までの数学が全部覆されちゃうからね。昔の人は「やべパラドクス発生しちゃったよ　わからんから　iで誤魔化しておけ」というのが虚数です。故に絶対あります。

お礼

ありがとうございます。

数学的なパラドックスが出てきたら、何か新たしい策を考え出すというのが数学の方法なのですね。それが虚数ですか。

それで、虚数が無いと今までの数学が覆されてしまうのですね。でも、それでは虚数が無い数学にはどんなおかしなところがあったのか不思議になります。

回答No.4

Knotopolog

ＡＮｏ.２のお礼欄への回答：

＃２です．

今，気が付きましたが，質問者さんが書かれた，y＝ax^2＋bx＋c は，二次関数です．二次方程式は，ax^2＋bx＋c＝0 になります．

二次方程式，ax^2＋bx＋c＝0 の解（根）は，常に，１つ，または，２つです．４つではありません．

重根（実数の解が１つ），実根（実数の解が２つ），２つの複素数の解，のいずれかです．

ご存じのように，二次方程式の解（根）の公式は，
x＝(1/2)[－b±√(b^2－4ac)]　です．

b^2－4ac＝0 の時が，重根（実数の解が１つ）．

b^2－4ac＞0 の時が，実根（実数の解が２つ）．

b^2－4ac＜0 の時が，２つの複素数の解．

となります．

また，《「複素数」なしでは現代社会が成り立たないほどです．》の意味は，科学技術的な計算で複素数を使う必要が頻繁に起こる．という事です．

＞イメージなのですが、反物質っていうのが物理であったような気がして、

反物質は，実際に観測されており，実在の物質ですが，普通の物質と反応して，エネルギーを放出し，消滅します．反物質は，陽子と電子の電荷がいずれも反対ですから，そのような結果になると理解されています．

お礼

おはようございます。再度、ありがとうございます！！

二次方程式と二次関数がごっちゃになってました(>_<)

虚数分をいれて４つの解が出るってことはないのですね。虚数の別の世界が平行に存在していて・・・、みたいな空想をしていました（汗）

反物質は観測されていたのですね。なんだか、物理のこともありがとうございます(^_^;

回答No.3

zuntac

複素数の直感的な理解には次の本が小説風に書かれていて読みやすくて分かりやすいとおもいます。

http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%AB-%E7%B5%90%E5%9F%8E-%E6%B5%A9/dp/4797341378/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1318759649&sr=1-1
数学ガール 第3章 ωのワルツ

お礼

ありがとうございます。

数学ガールはコミックのは読みましたよ(^_^)

小説の方は文章が多くて難しいかなぁと思ってまだ読んでいないのです。これいい本なのですね。

回答No.2

Knotopolog

＞でも、実数解が無いって言ってるだけで本当は解があるのかなぁ・・・、と疑問です。

実数解は無いですけれど，実数ではない解があります．

＞ なんだか i とかって虚数？があるのは知ってますが、
＞ そういうので何か実数ではない解が出せるのでしょうか。

そうです，実数ではない解が出せるのです．実数ではない解を「複素数解」と言います．「複素数」とは，二つの実数 a, b に対して， 虚数 i を使って， a ＋ b*i と表します．

実数 b が b＝0 ならば複素数 a＋b*i は， a＋0*i＝a＋0＝a となり，実数 a になります．

＞ 仮に出せるとして、それはいったいどういう意味を持つのですか。

「複素数」 a＋b*i を使った，数学の大きな世界が広がっています．「複素変数関数論」などと言う数学もあります．これ以外にも「複素数」の応用が沢山あります．

「どういう意味を持つのですか」という疑問をお持ちですが，一例としては，電気関係の「交流理論」などに，実際に「複素数」を使った計算が出てきます．

そのほか，物理学などでも広く応用されています．「複素数」なしでは現代社会が成り立たないほどです．

＞ 計算方法はそんなに理解できないと思うので本質が気になっています。解とは何？とか。

解とは，方程式を解いた答えのことです．
二次方程式のすべての答え（解）を得ようとすると，実数だけでは解が表せなくて「複素数」を使う必要がでてくるのです．

下手な説明ですが，いくらかは，ご理解頂けたでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

あの、、、虚数がないと、、、というか複素数ですか、それが無いと現代社会は成り立たなくなるのですか？？　信じられません。虚数は見えないし、つかまえられないし、日常生活では出会いません。

二次方程式の解なのですが、例えば、もし中学校や高校１年生くらいで虚数の世界を考慮に入れて解答すると（虚数のことも理解している生徒が解答すると）、解は４つくらい出るのでしょうか。

イメージなのですが、反物質っていうのが物理であったような気がして、実数解２つには虚数解が２つ対応している、みたいなのないですか・・・？

回答No.1

DJ-Potato

二次方程式は常に２つの解を持ちます。
極端に簡単な式で説明します。

x^2 = 1
これの解は、x = ±1　・・・+1と-1　２つの実数解

x^2 = 0
これの解は、x = 0　・・・0と0　重解

x^2 = -1
これの解は、x = ±i　・・・２つの虚数解

例えば、
すべての係数が整数の１次方程式（割り算でもいいです）を考えますと、時に答えが整数におさまらないことがあります。
４÷２＝２　で、すべて整数でおさまる
３÷２＝？　整数で表現できない　→分数を使えばOK　3/2

といった感じに、数を拡張していく必要があります。
整数で足りない場合は、分数を足して有理数を
有理数で足りない場合は、無理数を足して実数を
実数で足りない場合は、虚数を足して複素数を

ちなみに、複素数の計算は基本的には複素数の中でおさまるので、一般的にこれ以上の拡張は必要ありません。

お礼

数学が苦手な私に易しい説明ありがとうございます。

すみません、これなのですが↓

　　x^2 = -1
　　これの解は、x = ±i　・・・２つの虚数解

２つの虚数解が出るとのことで、関数ではグラフをよく書くのですが、x軸、y軸のグラフです。２次方程式の解はyが０のときで、x軸に交わるところです。この虚数解たちはやはりyが０のときの解なのですよね。x軸にはどこで交わってるのでしょうか・・・。すごく気になります。どこかに虚数の不思議なx虚数軸みたいなのができてそこと交わるのでしょうか。

数の拡張の説明ありがとうございます。

３÷２でやばいと思いました！！　３÷２って解けませんね。小学校低学年でもでてきそうなものなのに。解けないのでしかたなく分数にして一応「割れた」ということにしているのですね。びっくりです。

それで解けないときといっぱらよいのか、いそんな概念を導入していくのですね。それで虚数が最終手段で、虚数ですべての説明がつくのですね！！