数学：2次方程式の解の存在範囲、宜しくお願いします

質問

問題：2次方程式 ａｘ＾2+ｂｘ+ｃ＝0 があり、2つの解をα、βとすると、αβ＜0 となる条件をａ、ｂ、ｃを使って示せ。
なんですが、
解説を見ると、
解と係数の関係より、αβ＝ｃ／ａ＜0 ・・・ 答え (1)
となっています。

そこで考えたのですが、(1)の他に、判別式：Ｄ＝ｂ＾２－４ａｃ＞0　が必要ではないですか？

私の考えはおかしいのでしょうか？？？
よろしくお願いします。

回答No.1

Proof4 · ベストアンサー

f(x) = ax^2 + bx + cとします。f(x) = 0は２次方程式よりa ≠ 0
αβ = c / a < 0のとき
[1]a > 0ならばc < 0
このとき、f(0) = c < 0とa > 0より異なる２つの解が存在
[2]a < 0ならばc > 0
このとき、f(0) = c > 0とa < 0より異なる２つの解が存在
以上より、αβ = c / aはαβ < 0となる必要十分条件ということではないでしょうか。

お礼

理解できました、ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

「解説」はおそらく、
　ax^2 + bx + c = a(x-α)(x-β) = a{ x^2 - (α+β)x + αβ }
としてるのでしょう。
ならば、
　c = aαβ
だろうから、
　αβ = c/a
だ、というわけ …。

(実係数だろうから) 判別式 D が負 (非零) ならば、α, β は互いに共役な (非零) 複素数。
つまり、αβ＞0 のはず。
とはいえ、D＞0 なら αβ＜0 とは限らぬので、結局、「解説」の手法へキックバック。

お礼

理解できました、ありがとうございました。

回答No.2

f272

c/a<0であればac<0となりますからD=b^2-4ac>0は自動的に満たされます。