有限体の基礎理論について

質問

有限体の基礎理論について

Ｚp-{0}　（pは素数）　の中で、位数dをもつのはＡ={a^j｜1≦j≦d , GDC(j,d)=1}のみである。

とあるのですが、これの証明、もしくはわかりやすく説明してほしいです。

これを使って、命題が証明されているので、分からないと進めなくて困っています。

よろしくお願いします。

回答No.2

yoikagari

aの位数はdなのかな。

以下に回答を。

{a^i｜0≦i≦d-1}はx＾d -1=0の解となる。
このとき、x＾d -1=0の解はd個以下であることがいえるから、
「Z_p-{0}の元で位数がdになりうるのは、{a^i｜0≦i≦d-1}だけである。」…※

a^jの位数をxとおく

GCD(d,j)＞1のとき
k=GCD(d,j)とおく。
d/kとj/kは整数だから、(a^j)^(d/k)=(a^d)^(j/k)=1となるから
a^jの位数xは、x≦d/k＜dより、a^jの位数はdより小さくなる。

GCD(d,j)=1のとき
このとき、dとjは互いに素である。
a^jの位数がxだから、(a^j)^x=a^(jx)=1がいえる。
aの位数がdだから、位数の性質よりjxはdで割り切れる。
dとjは互いに素だから、xがdで割り切れる。…☆

またaの位数はdだから、(a^j)^d=(a^d)^j=1
ここでa^jの位数はxだから、位数の性質よりdはxで割り切れる。…★

☆と★より、x=dすなわち、a^jの位数がdであることがいえる。…§

したがって、{a^i｜0≦i≦d-1}の中で位数がdになるのは{a^j｜1≦j≦d , GCD(j,d)=1}
のみであることがわかる。

回答No.1

alice_44

そこに何の説明も無く登場する
a が Zp -｛0｝の何なのか？ を
一単語で説明できれば、
ほとんど解けたようなものです。
「1 以外」では、遠いですよ。