可換体に関する質問

質問

今日は
問題１－３．　ｐを素数とし、
　　　　Zp={0,1,2,...,p-1}
　　とします。
　　a∈Zp、b∈Zpのとき、a○bはa+bをpで割った余りとする。
　　また、a●bは、a*bをpで割った余りとする。
　　すると、集合Zpは、○、●のもとで可換体となることを示せ。

回答:
　　体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。
　　a≠0のとき、a●b=1となるbの存在を示す。
　　aは1,2,...,p-1のどれかであるから、pと互いに素である。
　　よってax+py=1となる整数x,yが存在する。このときx=pq+r　(0≦r<p)のような
　　q,rをとると、
　　apq+ar+py=1　∴ar=p(-aq-y)+1
　　よって、arをpで割った余りは１であり、r∈Zpであるから
　　a●r=1.　このrをbにとればよい。

上記の回答に関する質問
Q1)　『よってax+py=1となる整数が存在する』とありますが、
　　その理由を説明して頂けないでしょうか？
Q2)　『体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する』
　　とありますが、省略しないでお教え頂けないでしょうか？

注）この問題は、ガロア理論入門の１０ページに記載されている問題1-3の
　　ものです。
以上宜しくお願いします。

回答No.1

rinkun

Q1)
　ax+by=1が整数解を持つ⇔aとbは互いに素
ということが言えるからです。
# 例えば http://mathtrain.jp/axbyc
# あとは「ユークリッドの互除法」とかで調べると良い

Q2)
自分でやりなさい。
体の定義に従って条件を満たすことを順に示していくだけです。
自分の手を動かして書き下してみればわかります。

お礼

毎度お世話になります。
Q1)の回答有難うございました。