有限体の元の追加した体もある条件で有限体の証明

質問

体Kの上の代数拡大体の元ａ(1)、---、ａ(n-1)、ａ（n）について、ａ(1)、---、ａ(n-1)
がＫの上に分離的であれば，Ｋ（ａ(1)、---、ａ(n-1)、ａ（n））はＫの単純拡大であるという定理の証明にあたり、まずＫが有限体であれば，Ｋ（ａ(1)、---、ａ(n-1)、ａ（n））も有限体であるとありますがこれはどう説明できますか。Ｋが有限体ならＫ（ａ）も有限体がいえればいいと思いますが。

回答No.4

keyguy · ベストアンサー

完全な勘違いがあったのでもう一度書きます。

体Kの上の代数拡大体の元をaとし
aがKに含まれずaのK係数最小多項式をf(x)でi次とすると
K(a)={c(0)+c(1)・a+・・・+c(i-1)・a^(i-1))|c(0),・・・,c(i-1)∈K}
です。
というのはmがｉ以上だとx^mをf(x)で割った余りをg(x)(i次未満）としたときa^m=g(a)(i次未満）となることと、
h(x)=c(0)+c(1)・x+・・・+c(i-1)・x^(i-1)としたとき
h(x)=0（すなわちh(a)=0）でなければ
h(x)とf(x)は互いに素だから
（f(x)が約数を持てば最小多項式の仮定に反する。）
α(x)・h(x)+β(x)・f(x)=1となるK係数多項式α(x)とβ(x)が存在するので
α(a)・h(a)+β(a)・f(a)=α(a)・h(a)=1となり
c(0)+c(1)・a+・・・+c(i-1)・a^(i-1))の逆元はα(a)となるからです。

あとはやはり数学的帰納法でしょうね？

お礼

そうでした。こう展開してしまえば、少なくとも有限の場合／有限の場合で有限体となることはほとんど自明とわかります。
どうもありがとうございました

回答No.7

jmh

> ａは有限体Ｋの代数拡大体の元であるのに…
>
説明不足でした。＃５は「有限体の元の追加した体もある条件で有限体の証明」「Ｋが有限体ならＫ（ａ）も有限体がいえれば…」へのアドバイスでした。

お礼

jmhさん参加ご苦労様でした。

回答No.6

keyguy

aが超越的だと：

aは有限体Kの代数拡大体の元であるのに超越数で有り得るのでしょうか？

回答No.5

jmh

ある条件…。
ａが超越的だとＫ（ａ）は無限ですよね。だから「ａはＫ上アレ」が必要。逆にアレなら、ａの冪のＫ線型結合（←変な言い方）は有限個しかないと言えませんか。

回答No.3

keyguy

書き漏らしがありました。

単純に
K(a(1),・・・,a(n))={c(0)+c(1)・a(1)+・・・+c(n)・a(n)|c(0),・・・,c(n)∈K}
です。
Kの位数≦K(a(1),・・・,a(n))の位数≦Kの位数^(n+1)
です。

霧がないので間違いがあってももう直さないので悪しからず。

回答No.2

keyguy

失礼しました。
単純に
K(a(1),・・・,a(n))={c(1)・a(1)+・・・+c(n)・a(n)|c(1),・・・,c(n)∈K}
です。
Kの位数≦K(a(1),・・・,a(n))の位数≦Kの位数^n
です。
1つづつなどといったまどろっこしい事をしてもいいが話は単純です。

回答No.1

keyguy

a(1)がKに含まれないならば
K(a(1))={α・a(1)＋β|α∈K,β∈K}
です。
あとはKをK(a(1),・・・,a(n))へ１つづつ体拡大していく数学的帰納法。

お礼

どうもありがとうございました。

なお記号の意味ですが、ａ(1)は　ａ1の１が小さい添字を意味します。