乗群の位数とラグランジェの定理

質問

(mod p)の剰余類で乗群G*をつくるとき，（pは素数）
0を含む剰余類は除くので，|G*|=p-1かと思います．

a ∈ G*で，巡回部分群Hを生成すれば，
H=G*であることも確認できます．

ただ，ここでどうしてもわからないことがあります．
G*の位数も，Hの位数もp-1で，-1されるために一般に素数にはなりません．

ラグランジェの定理から位数が素数の有限群が真部分群を持たないことがわかりますが，
G*の位数は，p-1で素数にならないため，真部分群を持ってもよさそうな気がします．

どこに間違いがあるのでしょうか？

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

あ～, ひょっとして
「a ∈ G*で，巡回部分群Hを生成すれば，H=G*であることも確認できます」
と
「G*の位数は，p-1で素数にならないため，真部分群を持ってもよさそうな気がします」
が矛盾してるっぽい, ということ?

もしそうだとすると, まず
「a ∈ G*で，巡回部分群Hを生成すれば，H=G*であることも確認できます」
がどういう意味かを確認したいねぇ. p-1個ある G* の元のどれを a としても上のことが成り立つということ? 例えば p=5 だとどうなりますか?

お礼

ありがとうございます．まさにその通りでした！

回答No.1

Tacosan

すみません, あなたが何を疑問としているのかがわかりません.

お礼

ありがとうございました．
ここが間違っていました．
> a ∈ G*で，巡回部分群Hを生成すれば，
> H=G*であることも確認できます．

何を疑問としているかわかりません．というヒントをいただき，
「G*の位数は，p-1で素数にならないため，真部分群を持ってもよさそうな気がします．」
の部分は合っているのではと悟りました．

p=7で確認したところ，
a=2の巡回群は，[2,4,1,2,4,1]
a=3の巡回群は，[3,2,6,4,5,1]
a=4の巡回群は，[4,2,1,4,2,1]
a=5の巡回群は，[5,4,6,2,3,1]
a=6の巡回群は，[6,1,6,1,6,1]
できちんと，|G*|=6に対して，位数が2と3の部分群ができました．

本当にありがとうございました．