有限群の固定点

質問

命題 有限群Gがn点集合に推移的に作用してる場合、Gはn-1個以上の固定点を持たない元を持つ
の証明ができません。

バーンサイドの補題を使うと思われるのですが、有限群の元の数をコントロールする術がなく詰まっております。
教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

teacher_k-u0011

演義の問題は多少調べるにしてもこのようなサイトで質問することはやめましょう

回答No.1

tmpname

先ず、n=1の場合、Gの1点集合Mへの作用は明らかに推移的で（1点集合への作用ですから軌道はその点だけですしね）、かつGの任意の元はMの全ての元を固定しますから、GはMの0個以上の固定点を持たない元を持たないので、明らかに反例になっています。

そうでなくて、Mを2元以上持つ有限集合だとします（n≧2）。Gがn点集合Mに推移的に作用しているものとします。M/Gで、G作用によるMの軌道全体、MgでGの元gによって固定されるMの元全体とします。又、|A|でAの要素数とします。

バーンサイドの補題を次の形に書き直しておきます。
|G| * |M/G| = Σ{g∈G} |Mg|
で、Gによる作用が推移的というのは、つまり|M/G| = 1ということで、今の場合だと
|G| = Σ{g∈G} |Mg|
だということです。で、今|G| = Kとします。

問題は『このとき|Mg| < n-1なるg∈Gがあることを示せ』ということですが、つまり全てのg∈Gに対して|Mg|≧n-1とすると矛盾することを言えばいいですが、この時右辺は
Σ{g∈G} |Mg| = |Me| + Σ{g∈G, g≠e}|Mg| = n + Σ{g∈G, g≠e}|Mg|
≧ n + (K-1)(n-1) ≧ n + (K-1) ≧ K + 1

となって確かに矛盾しますね。