有限アーベル群Ｇの位数が相異なる２素数ｐ、ｑの積であるとき、Ｇは巡回群

質問

有限アーベル群Ｇの位数が相異なる２素数ｐ、ｑの積であるとき、Ｇは巡回群であることを示せ。

という問題があるのですがよくわかりません。できれば詳しく教えていただけると嬉しいです！

回答No.3

alice_38 · ベストアンサー

大抵の教科書に書いてありませんか？
構造定理を使わずに、手作りっぽく
書いてみると…

G の元で、単位元でないモノの一つを a とし、
a が生成する G の部分群を A とする。
A の位数は、ラグランジェの定理より、
G の位数の約数 1,p,q,pq のどれかになる。
(0) 位数が 1 の場合。
a が単位元でないから、これはありえない。
(1) 位数が p の場合。
可換群の部分群は全て正規部分群だから、
G は A と商群 G/A の直積に分解する。
A,G/A は位数 p,q の部分群であり、
素数位数だから巡回群である。
巡回群同士の直積群は、巡回群となる。
(2) 位数が q の場合。
同上。
(3) 位数が pq の場合。
単項生成の部分群は巡回群だから、
G = A は位数 pq の巡回群になる。

回答No.2

ranrantomo

難しい問題ですね☆

教科書読んで頑張ってください☆

回答No.1

ranrantomo

難しい問題ですね☆

教科書読んで頑張ってください☆