代数学「素体」

質問

代数学の体の性質に関することで

Zp(p:素数)、Q(有理数体)がいずれも素体であることを証明したいのですが・・・・

このような場合は、Fが素体であるとき、上の2つについて同形であることを言えばいいのでしょうか？

回答よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

素体とは、自分自身以外に部分体を持たない体のことです。
素数の定義に似ている。
Zpの部分体は、Zpの部分加群でもあるので、位数がpの約数でなければ
ならない。（群に関するラグランジュの定理）体は0と1を含むので、
部分体の位数は1ではなくpでなければならない。すなわち、Zpに一致
してしまう。つまり、部分体は自分自身しかない。
Qの方はZの商体であることから分かると思うのですが。
そもそも、素体としては、ZpかQに同型なものしか存在しない。
Fを任意の素体とし、その乗法に関する単位元を1として、ZからFへの写
像fをf(n)=n・1と定義すると、これは環準同型写像になっている。
よって、環の準同型定理により、Z/Kerfとf(Z)は同型である。
f(Z)はFの部分環であるが、Fは環としては整域だから、f(Z)も整域であ
り、KerfはZの素イデアルとなる。
Zは単項イデアル整域なので、Kerf=(0)か、Kerf=(p)（pは素数）とな
る。
Kerf=(0)のときは、Zとf(Z)が同型ということになる。よって、Zの商
体であるQと、f(Z)の商体Kは同型となる。
KはFの部分体であるが、Fは素体なので、結局K=Fとなる。
よって、QとFは同型になる。
Kerf=(p)のときは、Zpとf(Z)が同型となり、Zpは体だからf(Z)も体で、
f(Z)はFに含まれ、Fは素体だから、f(Z)=Fとなる。
よって、ZpとFは同型となる。
いずれにしても、任意の素体はQかZpに同型である。

お礼

ご丁寧にありがとうございますm(__)m
この回答を参考に、ちゃんと理解できるようにしたいと思います！

回答No.1

koko_u_

>このような場合は、Fが素体であるとき、上の2つについて同形であることを言えばいいのでしょうか？
まったく的外れだ。

F がこれらのいずれかに同型だとして、Zp が素体であることは導かれない。
極端な話「素体」なるものはひとつも存在していない可能性もある。

Zp あるいは Q について論ずるだけ。

お礼

回答ありがとうございますm(__)m
まったく見当違いだったようですね・・・・
もう一度参考書を読み直してみようと思います！