代数 有限体の問題について

質問

有限体GF(q)（q＝p^n:素数べき）について
　　ｆ(ｘ)＾２＝ｆ(ｘ＾２)
が成り立つことを示せ

証明　f(ｘ)＝a0+a1x+a2x^2+…+an-1x^n-1+x^n とおく
　　　ｆ(ｘ)＾２＝{a0+a1x+a2x^2+…+an-1x^n-1+x^n}＾２
　　　　　　　　＝a0^2+a1^2 x^2+(a2)^2 (x^2)^2+…+(x^n)^2
(∵(a+b)^p=a^p+b^p ,a.bはGH(q)の元)
一方、
　　　ｆ(ｘ^２)＝a0+a1 x^2+a2 (x^2)^2+…+an-1 (x^2)^n-1+ (x^2)^n

　　　よって、ｆ(ｘ)＾２＝ｆ(ｘ＾２)⇔ai＝ai^2⇔aiはGH(p)の元

という証明なんですが、「ai＝ai^2⇔aiはGH(p)の元」の理由がわかりません。
どんたか教えてくれませんか。できれば参考本もアドバイスもらえるとうれしいです。

回答No.1

zk43

2乗ではなくてp乗ではないですか？

お礼

遅くなりました。

２乗ではなくp乗でした。
そうすると、「ai＝ai^2⇔aiはGH(p)の元」は標数が関係してくるのでしょうか？