x^2 ≡ 1 mod n

質問

nが素数で
nを法とする既約剰余群(Z/nZ)*において
位数が2の元は-1だけであることを示したいのですが、

x^2 ≡ 1 mod n
⇒ (x-1)(x+1) ≡ 0 mod n
⇒　x = ±1
ではダメでしょうか。

ある本だと
以下の定理を使っています。
「Gを有限巡回群とする。|G|の任意の約数dに対して位数dのGの部分群が唯一つ存在する。」
この定理より　nの既約剰余群において、位数2の元は-1のみ。

しかし、この定理の証明が私にとって難解で、まったく理解できません。
結局、位数2の元が-1だけであることを言いたいので
x^2 ≡ 1 mod nを
上記のように解けば説明になっているのでは？と思いました。

x^2 ≡ 1 mod n を解くだけで説明になっているでしょうか？
アドバイスお願いします。

また、もしできたら
「Gが有限巡回群のとき…　|G|の任意の…」　の定理の証明をわかりやすく説明していただけないでしょうか。

回答No.1

koko_u_

>ではダメでしょうか。
n = 2 の場合が忘れ去られているけど、まあいいか。
最後の結論が、n が素数であることを意識していれば OK としよう。

>「Gが有限巡回群のとき…　|G|の任意の…」　の定理の証明を
>わかりやすく説明していただけないでしょうか。
証明などもう忘れた。
けど、そんなに難しい代物ではなかったはず。

(Z/nZ)* が巡回群であることを示すのはどうやったの？