可換体に関する質問

質問

ガロア理論入門の１０ページに下記の問題があります。

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問題１－３．　ｐを素数とし、
　　　　Zp={0,1,2,...,p-1}
　　とします。
　　a∈Zp、b∈Zpのとき、a○bはa+bをpで割った余りとする。
　　また、a●bは、a*bをpで割った余りとする。
　　すると、集合Zpは、○、●のもとで可換体となることを示せ。
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初心者の初歩的な質問で、恐縮ですが宜しくお願いします。

Q1)　集合Zp={0,1,2,...,p-1}は、逆元を持っていないので体とはいえないので
　　可換体でも無いとおもいます。
　　この問題は、そのことは無視して、a●b　＝　b●a
を証明する問題と考えて宜しいでしょうか？

Q2)
　　もし、そうだとしても、掛算の解は可逆なので、ｐで割った余りの値は
　　当然等しくなると思いますが、こんな単純な問題では無いと思います。
　　如何でしょうか？

以上　コメントの程、宜しくお願いします。

回答No.2

tmpname

記号としては(Zp, ○, ●)の方がいいが、その他は変わりません

回答No.1

tmpname

> 集合Zp={0,1,2,...,p-1}は、逆元を持っていないので体とはいえないので
> 可換体でも無いとおもいます

ですから●を乗法としたとき、0以外の元はきちんと逆元をもって「いる」ことを確認せよ、という話を
http://okwave.jp/qa/q8756350.html
でしていたのでは？？

> もし、そうだとしても、掛算の解は可逆なので、ｐで割った余りの値は
> 当然等しくなると思いますが、

ですから、(Zp, ●, ○)が可換体であることを定義に当てはめてきちんと確認してください、という問題で、
http://okwave.jp/qa/q8756350.html
にもある通り「ほとんどの部分は簡単に示せる」（つまりほとんどの部分は単純）けど、それを省かずに、面倒くさがらずに全て確かめて下さい、ということ。で、唯一0以外の元に対する逆元の存在の証明だけが少々厄介なので、そこは解説があるということ。