有限位数の元の積

質問

ふと疑問に思ったのですが、群において有限位数の元の積もまた有限になるのでしょうか。

つまり、Gを群、a,bを位数が有限のGの元とする時、abの位数も有限になるのでしょうか。

問題は単純なのですが、単純であるがゆえ証明が難しそうです。反例も思い付きません。

どなたかよいお考えがあれば教えていただきたいです。

回答No.1

lx002PH · ベストアンサー

例えば2×2の正則行列の乗法群で
A
=
(0,-1)
(1,0)
B
=
(0,1/2)
(-2,0)
とすると、AもBも位数4ですが、
AB
=
(2,0)
(0,1/2)
の位数は無限になります。

お礼

ありがとうございます。こんなに身近に反例があったのですね。