素数の分類と無限性に関して。

質問

素数の分類と無限性に関して。

※＾は乗数の意味です。

8n+1型の素数が無限に存在することの証明

原始根の存在（素数 p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群が位数 p - 1 の巡回群であること）を使う。 x を整数とする時x＾4 + 1 の奇素数因子を p とする。 x＾4 ≡ - 1 (mod. p) より、両辺を2乗することでx^8≡1となる。 x の p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる。ここで、 p ≡ 1 (mod. 8) となる素数が有限個であったとする時、その総乗積を P として、 (2P)＾4 + 1 の奇素数因子を考えると矛盾が出る。

私は2PをX"とおいて上と同様に考えました。

この証明の流れや、8n＋1型の素数が無限に存在することは理解できるのですが、上の証明における「位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる」の部分がどのようにして言えるのかが分かりません。フェルマーの小定理を用いているのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

乗法群(Z/pZ)*の元aの位数が8であるなら、8|p-1である
ということは、一般的には、有限群におけるラグランジュ
の定理というのを使います。
ラグランジュの定理：位数nの有限群Gの任意の部分群Hの位数は
Gの位数の約数である。
Gの2元a,bについて、a=bhなるHの元hが存在するとき、a～bとして
二項間の関係を定義すると、これは、Gにおける同値関係となります。
この同値関係～によってGの元全体を類別すると、
a1H,…,akH（a1,…,akはGの元）という集合に分かれます。
それぞれの集合の位数は|H|なので、
|G|=|H|+…+|H|=k|H|となって、|H|は|G|の約数となります。
従って、Gの元aの位数がnならば、aの生成するGの巡回部分群
の位数はnなので、n||G|となります。
つまり、一般に、有限群の元の位数は、その有限群の位数の
約数となります。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございました。

またよろしくお願い致します。

回答No.3

yoikagari

まず位数の法則について解説します。

pを素数とします。
yの p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数をeとしますと以下のようなことが言えます。
「x^k≡1 (mod p)ならば、kはeで割り切れます。」・・・※
「証明
kがeで割り切れないと仮定します。
kをeで割ったときの商をq、余りをrとすると、以下のように書けます。
k=eq+r，0＜r＜e
1≡y^k≡(y^e)^q・y^r≡y^r (mod p)
よってy^r≡1 (mod p)となります。
これはyの Z/pZ の乗法群での位数がeであることに反します。
よって、y^k≡1 (mod p)ならば、kはeで割り切れます。
証明ここまで」

フェルマの小定理よりx^(p-1)≡1 (mod p)が言えます。
x の p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数は8ですから
※の位数の法則により、p-1が8で割り切れることがわかります。

お礼

回答ありがとございました。しかし、

1≡y^k≡(y^e)^q・y^r≡y^r (mod p)
よってy^r≡1 (mod p)となります。
これはyの Z/pZ の乗法群での位数がeであることに反します。

の部分が少し分からない点がありました。
もしよろしければ、また質問させていただきたいと思います。

回答No.1

koko_u_u

位数 p-1 の巡回群に、位数 8 の元が存在すれば 8 | (p-1) というだけの話