円の内部領域での最大値は

質問

円の内部領域での最大値は
　円のグラフ（ｘ－４）＾２＋（Ｙ＋１）＾２＝８
の内側の領域でＸ＋Ｙが最大値、最小値ををとる場合を求めたいのですが、どうすればよいのでしょうか？

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

＃３です。
　お礼をありがとうございます。

＞K=ー１，７までは理解できたのですが
＞　そこからXを求めるところが分かりません。よろしかったら丁寧にご教授をお願いします。

　その次にすることは、式（3）に代入してｘを求めます。

＞　x^2-(k+5)x+(k^2+2k+9)/2=0　・・・（3）

　ここで、式（3）の2次方程式の解は判別式Dを使って表すと、次のようになります。

　　x={(k+5)±√D}/2　　・・・・・（4）

　しかし、k=-1,7　はD=0の条件で求めたものですので、式（4）は実は次のようになります。

　　x=(k+5)/2　　・・・・・（5）

　あとは、この式（5）にｋの値を代入して、ｘを求めます。

（a） k=-1のとき　式（5）から
　　x=(-1+5)/2=2

　次に、ｙは式（2）を次のように変形して求めます。

　　y=k-x　　・・・・(2')

　x=2 でしたから、これを代入して
　　y=-1-2=-3
となります。

(b)　k=7 のときも同じやり方です。
　　式(5)と式(2')を使って確かめてみてください。

お礼

分かりやすいご説明ありがとうございました。
いやー難しいですね。これでも４０年前は国立大学で数学を学べるぐらいの学力はあったのですが。
　注意力、思考力がかなり退化していることを自覚しております。
　どうも私たちは高校時代にこんなに難しい数学は勉強していないような気がしております。
　現在５５歳、あと５年して退職すれば大学に通って数学を勉強するのが夢ですがこの調子では難しそうです。
　またご教授をお願いすることがあると思いますのでよろしくお願いします。

回答No.4

info22_

x+y=k　…(A)とおいて
円の方程式…(B)とが共有点を持つようなkの範囲を求めればよい。

[解法1]
y=ｋ-x…(C)を（B）に代入して
(x-4)^2+(k+1-x)^2=8
2x^2-2(k+5)x+k^2+2k+9=0
x(,y)の実数条件からD/4=(k+5)^2-2(k^2+2k+9)=-(k+1)(k-7)≧0
∴-1≦k≦7

kの最大値は7(x=1,y=7の時)、最小値は-1(x=2,y-3)

[別解]
(x-4)^2+(y+1)^2=8
と
y=k-x
のグラフを描いて、２つのグラフが交点を持つkの範囲をグラフから求めると
∴-1≦k≦7
∴kの最大値は7(x=1,y=7の時)、最小値は-1(x=2,y-3)

お礼

回答ありがとうございます。
K=ー１，７までは理解できたのですが
　そこからXを求めるところが分かりません。よろしかったら丁寧にご教授をお願いします。

回答No.3

Mr_Holland

先ず、「円の内部領域」とは円周を含むのでしょうか？
　もし含まないとしたら、最大・最小は存在しません。
　以下、「円の内部領域」は円周を含むとして回答します。

　円：(x-4)^2+(y-1)^2=8　　・・・（1）
　直線：　x+y=k　とおく。　・・・・（2）

　上の円と直線のグラフを描いてもらえれば分かりますが、x+y=kが最大・最小となるのは、直線が円に接する時です。
　つまり、式（1）,(2)を連立してyを消去した時、xが重根を持つようなｋの値が最大・最小となります。

　　(x-4)^2+(-x+k+1)^2=8
　⇔x^2-(k+5)x+(k^2+2k+9)/2=0　・・・（3）

　式（3）のxが重根を持つためには、判別式D=0が必要十分ですので、
　　D=(k+5)^2-2(k^2+2k+9)=0
　⇔(k+1)(k-7)=0
　∴k=-1,7

(a) k=-1のとき　x=(k+5)/2=2, y=-2-1=-3
　　∴(x,y)=(2,-3)

(b) k=7のとき　x=(k+5)/2=6, y=-6+7=1
　　∴(x,y)=(6,1)

　以上のことから、次のようになります。
　x+yは　(x,y)=(6,1)のとき最大値7をとり、(x,y)=(2,-3)のとき最小値-1をとる。

お礼

回答ありがとうございます。
K=ー１，７までは理解できたのですが
　そこからXを求めるところが分かりません。よろしかったら丁寧にご教授をお願いします。

回答No.2

aquatarku5

円のグラフを描いて直線X+Y=cを、cを変えながら
動かしていくことを考えれば、(X+Y)のとりうる値
の目算がつきます。

媒介変数表示により、
円の周囲および内側の点は、
X=2√2t・cosθ+4
Y=2√2t・sinθ-1
但し、0<=t<=1、0<=θ<2π

と表せますので、
X+Y
=2√2t(sinθ+cosθ)+3
=4tsin(θ+π/4)+3

したがって、まず非負実数tを固定して考えると、
最大はθ=π/4のときで、値=4t+3
最小はθ=5π/4のときで、値=-4t+3
あとは、0<=t<=1を加味して考えると、結局
最大値=7　(X=6,Y=1)
最小値=-1　(X=2,Y=-3)
となります。なお、ここでは円周上を含めて
考えていますが、「内側の領域」がこれを含めない
ということとすると、0<=t<1で考えることに
なります。ただしその場合、-1<X+Y<7となり、
最大値・最小値とも存在しません。

お礼

すみませんやっと数IIにたどり着いたバカですので三角関数が理解できません。
回答有り難うございました。

回答No.1

gatch_ky

ラグランジュ乗数法を使う。

補足

すみませんやっと数IIにたどり着いたバカですのでラグランジュ乗数法が理解できません。
回答有り難うございました。