領域と１次式の最大・最小

質問

領域と１次式の最大・最小

ｘ、ｙが２つの不等式x^2+y^2<=10,y>=-2x+5を満たすとき、ｘ＋ｙの最大値および最小値を求めよ。

教えてほしいところ
ｘ＋ｙがｋという値を取り得るとはx^2+y^2<=10,y>=-2x+5、ｘ＋ｙ＝ｋをすべて満たすような（ｘ、ｙ）が存在するということですよね。
ここまでは理解できるんですが、図形的に考えるとよくわかりません。
これを言い換えるとｘ＋ｙ＝ｋが共有点をもつような範囲を考えればよくなるらしいんですが、？？です。
何故、言い換えとそのようになるか、根本的に理解できません。
誰か教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

俗に「線形計画法」と呼ばれる考え方についてですね。
（いまの問題は円があるので、線形計画法「もどき」になりますが。）

x+ y＝ kと置いて、これを直線の方程式とみなすと、kはちょうど y切片となります。

少し逆の見方をすると、
この直線上にある点(x, y)について x+ yを計算すると、すべて kになるということができます。
（すなわち、x+ yの値が kとなる点の集まり）
点(x, y)について、k＝ x+ yという写像を考えているという言い方もできると思います。

そして、問題では点(x, y)の存在範囲が決められています。
添付の図で言えば、黄色の領域内で点がいろいろと移動しているとき、
x+ yという値は斜め45度に延ばした線と y軸の交点の y座標（y切片）として与えられる
ということになります。
（赤線の区間が、領域内かつ x+ y＝ kとなる点の集まりとなっている）

正直、このような解釈ができている高校生ってあまりいないのかな？と思います。
わたしも現役時代にはテクニックだけで解釈はできていませんでした。＾＾；

お礼

そんなとらえ方があったなんて・・・・
感動しました！！