2次関数の最大・最小

質問

2次関数の最大・最小

aが実数として、a<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3がある。この関数の最大値、最小値をそれぞれM(a),m(a)とするとき、関数b=M(a),b=m(a)のグラフをab平面に（別々に）書け。

最大・最小となる候補を利用
y=d(x-p)^2+qのグラフが下に凸の場合、
・区間α<=x<=βにおける最小値は、x=pが区間内であれば、頂点のｙ座標q
そうでなければ、区間の端点でのf(α）,f(β）のうち小さいほう
・区間α<=x<=βにおける最大値は、区間の端点での値f(α）,f(β）のうちの大きいほう
である。結局、「最大値や最小値にｂなる可能性のある点は、頂点と両端の点の３つのみ」であるから、
「頂点のy座標（頂点が区間内にあるとき）、および区間の端点のｙ座標からなる３つのグラフを描いておき、最も高いところをたどったものが最大値のグラフ、最も低いものをたどったものが最小値のグラフである。

教えてほしいところ
「最大値や最小値にｂなる可能性のある点は、頂点と両端の点の３つのみ」であるのは理解できます。しかし、
「頂点のy座標（頂点が区間内にあるとき）、および区間の端点のｙ座標からなる３つのグラフを描いておき、最も高いところをたどったものが最大値のグラフ、最も低いものをたどったものが最小値のグラフである。という部分が理解できません。
何故、たどったものがそれぞれ最大値または最小値のグラフだといえるんですか？？

論理的に教えてください

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

なんか、表現がややこしいというか、集約して書こうとしすぎてるような気もします・・・
以前にも似たような質問がありましたよね。

個人的には、下手に最大と最小を同時に考えせずに、
単純に場合分けしていけばいいと思うのですが。

いまの問題であれば、y＝ f(x)が下に凸のグラフとなるので、
・最大値の候補は、f(a)（左端）か f(a+2)（右端）
・最小値の候補は、f(a)、f(a+2)、f(1)（軸の位置）のいずれか

ということを確認しておいて、後は左から右にずらしていく要領で
【１】最大値については、
・a+1（範囲の真ん中）が軸に重なるまで（左側にあるとき）は、f(a)が最大
・a+1が軸と重なったときは、f(a)＝ f(a+2)で最大
・a+1が軸よりも右側にあれば、f(a+2)が最大

【２】最小値については、
・右端が軸に重なるまで（左側にあるとき）は、f(a+2)が最小
・軸が a～a+2の間にあるときは、f(1)が最小
・左端が軸よりも右にあるときは、f(a)が最小

とそれぞれ場合分けをして、最後につなげる。

これでも問題ないと思いますが・・・

回答No.2

mister_moonlight

＞最も高いところをたどったものが最大値のグラフ、最も低いものをたどったものが最小値のグラフである。という部分が理解できません。

確かに、この説明は誤解しやすく不適当な言い回しだ。
最も高いところが最大値、最も低いものが最小値、であり、その最大値と最小値はaの値の条件によって変動する。
従って、そのaの値の条件によって最大値と最小値を求め、その各々のグラフを求めると、それが最大値または最小値のグラフになる、という意味。

回答No.1

koko_u_u

>「最大値や最小値にｂなる可能性のある点は、頂点と両端の点の３つのみ」であるのは理解できます。

これを数式で表すと、頂点の y座標 α(a), 左端の y座標 β(a)、右端の y座標 γ(a) をもって M(a) = max(α(a), β(a), γ(a)) ということ。
つまり「最も高いところをたどったものが最大値のグラフ」ということ。