数学領域の問題

質問

ｘ2+ｙ2≦1の領域全体が、（ｙ-ｔｘ+2ｔ）（ｙ-ｘ+ｔ-1）≧0の領域に含まれるような実数ｔの範囲を求めよ。の問題です。

原点中心の半径1の円の内部、境界線の領域が、ｙ-ｔｘ+2ｔ　≧0かつ　ｙ-ｘ+ｔ-1≧0またはｙ-ｔｘ+2ｔ≦0かつｙ-ｘ+ｔ-1≦0にわけて考えた領域に含まれると考えました。傾き1で円に接するグラフｙ＝ｘ±2√2などとの関係も考えましたがわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

mister_moonlight

ｙ-ｔｘ+2ｔ＝0‥‥(1)、ｙ-ｘ+ｔ-1＝0‥‥(2)。
これが、ｘ2+ｙ2＝1‥‥(3)を含むから、(1)と(3)、(2)と(3)との距離が　円の中心(0、0)との距離が、円の半径(＝1)以上であると良い。
そのためには、点と直線との距離の公式を使えば一発で出る。
考え方は、以上の通り。実際の計算は自分でやって。

お礼

明快なご回答ありごとうございました。

回答No.2

info22_

図を添付したので参照下さい。
黄色領域が不等式を満たす領域で円領域：x^2+y^2≦1の全領域を含みます。
図は不等式を満たすtの範囲の下限と上限の時の図です。

まず境界線の性質を理解することが大切
　y-tx+2t=0　→　ｙ=t(x-2) … 点(2,0)を中心に回転
　y-x+t-1=0　→　y=x+1-t … 上下方向に並行移動（y切片=1-t)

この上で次の２つに場合分けして考えれば良いでしょう。
(1) y-tx+2t≧0,y-x+t-1≧0のとき
　y=x+1-tが円:x^2+y^2=1に接する時のt=1+√2(y切片1-t=-√2)より
　不等式を満たすtの範囲：t≧1+√2 …(A)
(2) y-tx+2t≦0,y-x+t-1≦0のとき
y=t(x-2)が円:x^2+y^2=1に接する時のt=-1/√3(傾き=-1/√3)より
不等式を満たすtの範囲：t≦-1/√3 …(B)
(A),(B)を合せた範囲が答えになります。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

図まで描いて頂きありがとうございました。（2.0）を通ることを見落としていました。ｙ=t(x-2)のグラフが円と接する傾きt＝1/√3よりt＝1+√2の値が大きく、（2.0）を通るので黄色の領域になるのですね。t＝1/√3とt＝1+√2の関係だけで考えていたので解けなかったと気づきました。ありがとうございました。

回答No.1

hrsmmhr

円を含む側から各直線を円に近づけていくと、
接した所からより近づくと領域に含まれない円の境界や内部が出てきます。
逆に円を含まない側から各直線を円に近づけていくと
接した所からより近づくと領域に含まれる円の境界や内部が出てきます。
どちらも接線が条件を満たすかどうかの境になります

それと
y-tx+2tはy-t(x-2)なので(2,0)を通る直線です
tが動くと直線が(2,0)を中心に回ることになります

お礼

ご回答ありがとうございました。