領域の問題(図形と式)

質問

次の一組の一次不等式
4ｘ－ｙ≦15、2ｘ＋3ｙ≦18、－5ｘ＋3ｙ≦4、ｘ≧0、ｙ≧0
の表す領域を考える。

(1)点(ｘ，ｙ)がこの領域にあるとき、－4ｘ＋3ｙの最大値と最小値を求めよ。
(2)点(ｘ，ｙ)がこの領域にあり、かつｘ、ｙがともに整数であるとき、－4ｘ＋3ｙの最大値と最小値を求めよ。
(3)点(ｘ，ｙ)がこの領域にあり、かつｘ、ｙがともに整数であるとき、(ｘ－5)*2＋(ｙ－7)*2の最大値と最小値を求めよ。
※*2は2乗です。

(1)は領域を図示して解いたのですが、(2)(3)が解りません。
解き方のヒントと、出来れば解答例など教えていただけると助かります。
ちなみに答えは
(1)最大値6　最小値－15
(2)最大値5　最小値－13
(3)最大値74　最小値13　です。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

sta_vanilla · ベストアンサー

解答のヒントだけでよろしいですよね？

領域は正しく図示できましたね。五角形状の領域になると思います。
(1) は、恐らく k = -4x + 3y とおき、これを整理して
y = (4/3)x + (1/3)k の直線の方程式にして、この直線が領域内部
（境界を含む。以下すべて同様）通過するときの上限・下限の k を
求めたと思います。

さて(2) ですが、領域内部にあって x も y も整数となる点ですから、
そのような点（格子点）をすべて見つけだしてみましょう。
解き方としては、(1) の考え方がそのまま使えます。つまり領域内部で
格子点を通過するような k の最大値・最小値を探せばいいわけです。
k は、先の一次関数における切片の値として含まれていますから、
傾き 4/3 の直線を保ったまま切片だけ平行移動させ、領域内部の点を
通過するものを見つければ・・・。

(3) も同様に、( x - 5 )^2 + ( y - 7 )^2 = k とおくと、これは
中心 (5,7) で半径が √k の円を表します。
この場合も (5,7) を中心にして円の半径が変動すると考え、先に
見つけておいた格子点の中で、中心の座標から最も遠い点と最も近い
点を探せば、それが最大値・最小値の候補になります。
あとは中心からその点までの距離を求めて・・・。

これを参考に頑張ってみて下さい。

回答No.1

Rossana

(2)ｘ、ｙがともに整数であるとき：こういう点のことを格子点と言います．描いた領域の中に格子点を打って下さい．そうすればわかるはずです．
(3)二乗は通常(ｘ－5)^2＋(ｙ－7)^2のように表わします．これは中心(5, 7)の円を表わしているので，この円が格子点に乗っかるようにして，半径が最大になるときどの格子点に乗っているときかを領域の中で考えて下さい．