領域の最大・最小

質問

『x、yが2つの不等式 x^2+y<=2　y>=0を満たすとき、y+1/x+3の最大値と最小値を求めよ。』
最大値のほうで、y+1/x+3=kとおき　y=k(x+3)をx^2+y=2に代入し
判別式が0になるときがk(傾き)が最大なので解きました。
そして出てきた答えが　6+-2√6で私はkが大きいほうが
答えだと思い6+2√6にしたのですが、解答には6-2√6が答えでした。
どうして小さいほうが最大になるのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>x^2+y<=2…(A)　y>=0…(B)
>y+1/x+3=kとおき　y=k(x+3)
y=k(x+3)-1…(C)
のケアレスミスですね。
(C)は定点P(-3,-1)を通る傾斜kの直線です。

>答えだと思い6+2√6にしたのですが、解答には6-2√6が答えでした。
誤解答の発生を防ぐために必ずグラフを描くようにするといいです。
(A),(B)が示す領域D、定点P(-3,-1)とその点と領域Dを通る直線の概形を
描いて、そこにk=6+2√6と6-2√6の場合の直線(C)を描き込んでみます。
そうすればkの2つの値に対して(C)は(A)の境界の放物線
x^2+y=2,つまり　y=2-x^2…(E)
の2本の接線になっていることが分かります。
その一方の接線（k=6+2√6の場合）は領域Dで(E)に接する接線ではありません。ですから、この接線のkは不適です。
もう一方の接線（k=6-2√6の場合）は領域Dで(E)に接する接線であることが分かります。ですから、この接線のkが求める最大値になります。

なお最小値は直線(C)が点Q(√2,0)を通るときですから
(C)に(x,y)=(√2,0)を代入して
0=k(1+√3)-1
k=1/(1+√3)=(√3-1)/2
このkが求める最小値となります。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。
実際にグラフを書くことは大切ですね。

回答No.3

akira47

y+1=k(x+3)のグラフは、kの値に関係なく、定点(-3,-1)を通ることは、分かりますね。
y=2-x^2のグラフの頂点は、(0,2)です。
kの値は、(-3,-1)と(0,2)として近似できます。
即ちkは１に近い値です。
6-2√6は約1.1です。この時y>0です。

6+2√6はy<0の第３象限で接するときの値ですので、この値は取れません。

判別式Dは、D>=0として計算しないと、この様な過ちが出てきます。D>=0としてkの範囲を再計算して下さい。そうしますと、間違いに気づきます。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。
出てきた答えを安易に一方に決め付けるのはいけませんね。
しっかり、考えることが必要ですね。

回答No.1

tunertune

6+2√6になるときのx,yの値は
x^2+y<=2　y>=0
を満たさないからじゃないですか？
解き方忘れたけど、
-√2<=x<=√2,0<=y<=2だから
6+2√6はありえないのではと思いました。

お礼

意見ありがとうございました。
範囲をしっかり考えなければいけませんね。