軌跡と領域 円に接するときに、なぜ最小値といえるのか

質問

問題：
x^2＋y^2≦4,y≧0のとき、2x-yの値kの最大値と最小値を求めよという

この問題の回答：
2x-y=k とすると、
円周 x^2＋y^2=4 の点(2,0)を通るとき、kは最大で4
円に接するとき、kは最小となり、中心(0,0)と接線との距離が2より、
点と直線の公式より、～中略～　最小 -2√5

上記回答の、円周 x^2＋y^2=4 の点(2,0)を通るとき、kは最大になることは分かります。
しかし、なぜ、「円に接するとき、kは最小となり」といえるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

2x-y=k
つまり
y=2x-k
のy切片が「-k」で
(x,y)は半円の周上（y>=0）の点であることを頭に入れた上で、
半円と直線y=2x-kが共有点を持つときの直線のy切片「-k」のとりうる範囲がどうなるかを考えれば、直線が半円に接する場合がy切片「-k」が最大になることが分かるはず。（-kとkは符号反対なので「-k」が最大の時に最大値をとりますが「k」自体は、負の値をとるので最小値をとりますね。

お礼

－ＫがＹ切片になるということから理解できました。
ありがとうございました。

回答No.4

banakona

＞2x-y=k とすると、

これは　ｙ＝２ｘ－ｋ　という直線とみなせます。　その一方で

x^2＋y^2≦4,y≧0

これは中心が原点、半径が２で、上半分だけの半円です。この条件で「ｋの最大値・最小値を求めろ」とは、上記直線がこの半円のどこかを通るという条件で、ｋの最大値・最小値を求めろというのと同じです。

だから、傾き２の直線を、半円から離れることなく平行移動させたときの、ｙ切片を求めればいいことになります。これを図示したのが下図です。

注意すべきは切片がｋではなく－ｋということです。この図からわかるように－ｋが最大となるのは上記のとおり（２，０）を通る時（－ｋ２）で、最小となるのは半円に接する時（－ｋ１）となります。

ちなみに、y≧0という条件がないと、半円ではなく円になるので最大値も接する時（－ｋ３）となります。

お礼

－ＫがＹ切片になるということから理解できました。
図示までしていただき、ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

xy平面上で図示すると、中心が原点で半径が2の円の内部（周上を含む）の上半分。
2x-y=kとすると、これはy＝2x-kから直線であり、傾きが2であるから、傾きを維持したまま、上下に動かすと、円に接する時に最小値を取る事はすく分かるだろう。
後は、原点と直線との距離が、円の半径2に等しい事から求められるだろう。
最大値だって、同じように考えたはずだが？

お礼

ご回答、ありがとうございました。
ｋの最大値は、円の上半分という条件の中で、
2x-y=k なので、ｘが最大値でＹが最小値をとる（ｘ，ｙ）を探しました。

回答No.1

Kules

＞点(2,0)を通るとき、kは最大になることは分かります。
ということなら
＞円に接するとき、kは最小となり
も同じ理由です。粗い説明ですが、それ以上直線が上に行くと円と共有点をもてなくなってしまうからです。