最大値最小値の求め方

質問

x^2+y^2=1のとき、(2x+y+1)/(3x+y+5)の最大値・最小値を求めよ。

分数になっていることから、この問題を傾きの最大・最小で解こうと考えました。
そのために、Y=2x+y,X=3x+ｙ とおく。そして、(X,Y)の領域について考えようとしました。
ベクトル(X,Y)=x(3,2)+y(1,1)=cosθ(3,2)+sinθ(1,1)から、、(X,Y)の領域がわかるのでないか
と思いました。その領域も(-5,-1)との傾きの最大と最小がわかる領域であればよいのですが、
cosθ(3,2)+sinθ(1,1)　をどう解釈すれば良いでしょうか。

この方法がうまくいかないので、x=cosθ，y=sinθとして、(2x+y+1)/(3x+y+5)を三角関数の式
として捉えてできないかも考えましたが、できませんでした。

この２つの方法について、アドバイスをおねがいします。

回答No.6

mister_moonlight · ベストアンサー

＞x=cosθ，y=sinθとして、(2x+y+1)/(3x+y+5)を三角関数の式として捉えてできないかも考えましたが、できませんでした。

座標を使わずに、三角だけで済ませる方法。

x=cosθ，y=sinθ　を(2x+y+1)/(3x+y+5)＝k　に条件式に代入して整理すると、(3k-2)*cosθ+(k-1)*sinθ＋(5k-1)＝0となる。
sin(θ＋α)＝(1-5k)/√{(3k-2)＾2＋(k-1)＾2}であり、｜sin(θ＋α)｜≦1　から、｜1-5k｜≦√{(3k-2)＾2＋(k-1)＾2}であるから、同じ答えに到達する。

これが一番簡単な方法かな？

お礼

回答ありがとうございます。
合成するところが気づきませんでした。
これでひとつ疑問が解決しました。

回答No.7

info22_

#3です。

A#3の補足質問について

>(10k^2-14k+5)x^2+2(15k^2 -13k+2)x+8(3k-1)k=0…(★)
>2次の係数(10k^2-14k+5)>0であるのでxの実数条件≧0から
転記ミスです。「実数条件、判別式D≧0」ですね。
>-15k^2-4k+4≧0…(☆)
>このとき、xは-1から1の間に存在する実数である条件は、無くても良いのでしょうか。
(★)は(3)の式を円の方程式に代入して導出した式なので、円上の点のxの範囲の条件が含まれています。つまり（☆）を満たすkに対して導出される実数xとそのxを(3)に代入して導出される実数yは円の方程式(1)を満足しますので、改めてxの範囲の条件を追加する必要はないでしょう。#4,#5のグラフと説明で良く考えてみて下さい。(☆)を満たすkに対して(1)と(3)は必ず交点を持つことから分かるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます
実数解x存在するとするとそれは、円のグラフから－１と１の間というのは
わかるのですが、式を変形していくどの段階で、そのことが利いてくるのか
と疑問におもいました。

回答No.5

info22_

なぜかA#4にグラフが添付されませんでしたので再度添付します。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3のグラフを描いてみましたので添付します。
直線(3)のグラフがkの値によって定点(-4,7)の周りに回転する様子が分かるかと思います。
直線(3)の傾きが黄色の範囲に入るkの範囲が求めるkの範囲で、このkの範囲で円(1)と評価式直線(2)が共有点（交点）を持つことが分かります。

回答No.3

info22_

この問題の標準的な解き方は
x^2+y^2=1…(1)
(2x+y+1)/(3x+y+5)=k…(2)とおいて
(2)から y=((3k-2)x+5k-1)/(1-k)…(3)
k=1のとき(2)から x=-4…(4)
(4)は(1)と共有点を持たないので不適。∴k≠1
(3)はxが実数であればyも実数になることを意味する。
このとき(2)のyを(1)に代入して(k-1)^2(≠0)を掛けて
xについて整理すると
(10k^2-14k+5)x^2+2(15k^2 -13k+2)x+8(3k-1)k=0
2次の係数(10k^2-14k+5)>0であるのでxの実数条件≧0から
-15k^2-4k+4≧0 ∴-2/3≦k≦2/5…(5)
とkの範囲が出てきます。

以上が一般的な解法かと思います。

なお、グラフを描いて考えると理解しやすい。
(2)が任意のkについて成立するとすれば(x,y)=(-4,7)。(2)から導いた(3)はこの定点(-4,7)を通る直線であることが分かる。kを変化させると(3)は定点(-4,7)を中心に回転する。
この直線が円(1)と共有点を持つ直線の傾き「(3k-2)/(1-k)」の範囲からkの範囲(5)が求まります。

お礼

回答ありがとうございます
(10k^2-14k+5)x^2+2(15k^2 -13k+2)x+8(3k-1)k=0
2次の係数(10k^2-14k+5)>0であるのでxの実数条件≧0から
-15k^2-4k+4≧0
このとき、xは-1から1の間に存在する実数である条件は、無くても良いのでしょうか。

回答No.2

mister_moonlight

2x+y＝a、3x+y＝bとすると、x＝b-a、y＝3a-2b　であるから、条件式にだいにゅうすると、10a＾2-14ab＋5b＾2＝1となる。‥‥(1)
又、a＋1＝k(b＋5)であるから、これを(1)に代入して、bの2次方程式とみて、判別式≧0
後は、十分条件の確認をするだけ。

次に、x=cosθ，y=sinθとする方法だが、以下の方法を見習えばできる。
私なら、次のように解くが。

条件から、(2x+y+1)/(3x+y+5)＝kとすると、2x+y+1＝k(3x+y+5)。
これは、(2x+y+1)-k(3x+y+5)＝0　‥‥(1)から、2つの直線：2x+y+1＝0と3x+y+5＝0との交点(-4、7)を通る直線束(群)を表す。
よって、この円と直線：(2-3k)x＋(1-k)y＋1-5k＝0が交点を持つと良いから、円の中心(0、0)と直線との距離が円の半径である1以下であると良い。
点と直線との距離の公式から、｜1-5k｜≦√{(2-3k)＾2＋(1-k)＾2}である。
両辺が非負から2乗すると、15k＾2＋4k-4≦0　つまり、-2/3≦k≦2/5。

お礼

回答ありがとうございます
直線が円との共有点をもつkの条件を
かんがえればいいのですね。
ベクトルの方法で、領域をかんがえることは
できないのかな・・・

回答No.1

hugen

(2x+y+1)/(3x+y+5)=C (定数) とすると
(2x+y+1)-C(3x+y+5)=0

お礼

回答ありがとうございます
このあとは、＃２さんと同じように、
点と直線との距離から共有点をもつ条件
を考えるということでしょうか。