部分群に成立する事実

質問

SがGの部分群の時、
a,b∈Gに対して、aS＝bS ⇔ a^{-1}b∈S
という事実が成立するようなのですが、どうしてなのかわかりません。

おそらく群の世界では初等的な事実だろうと思いましたので、図書館等
で調べてはみたものの、この事実を当然のごとく使っている本は数冊見
つかったのですが、どうして成立するかについて書かれている本は見つ
かりませんでした。
しかし、調べている最中に得たいくつかヒントを得ることができ、
上の事実の右から左へについてはSがGの部分群であるということと、a^{-1}b∈Sから、a,b∈S、ab∈S、a^{-1}∈Sが成立しそうだということ
で、Sの元同士をかけてもSの元となることから、aS,bS∈Sということが
使えないか？と考えるに至りました。
しかし最後の詰めには至っておりません。
左から右に関してはaとbが未だSの元と決まったわけではないという状況
なのでどう手をつけたらよいか戸惑っております。

証明できる方がおりましたら、ご指導のほどよろしくお願いいたします。

回答No.2

koko_u_

単純に集合 aS 等が何かわかっていないだけだと思います。
ひとまず抽象から離れて、具体的に巡回群あたりで考えましょう。

回答No.1

rinkun

aS＝bS ⇒ a^{-1}b∈S
aS＝bSから、任意のt∈Sについてあるu∈Sがあってat＝bu。
両辺に左からa^{-１}、右からu^{-1}を掛け、tu^{-1}＝a^{-1}b。
従ってa^{-1}b∈S。

a^{-1}b∈S ⇒ aS＝bS
a^{-1}b∈Sからあるs∈Sがあってb=as。任意のt∈Sについてbt＝ast∈aS。
よってbS⊆aS。逆の包含も同様に示せてaS＝bS。
# 逆の包含は自力で示すこと

ちなみに
> SがGの部分群であるということと、a^{-1}b∈Sから、a,b∈S、ab∈S、a^{-1}∈Sが成立しそうだ
は間違い。