群の問題です

質問

「xの係数が0でない1次関数全体の集合Gは合成関数を演算として群であることを示せ」
という問題なのですが、この場合(1)結合法則 a・(b・c)=(a・b)・c　(2)単位元の存在 a・e=e・a=a　(3)逆元の存在 a・xa=xa・a=eが示せればいいのでしょうか？

回答No.1

Mell-Lily · ベストアンサー

群の定義は、
　(1)結合法則が成り立つこと
　(2)単位元が存在すること
　(3)逆元が存在すること
ですから、その方針でいいと思います。具体的には、例えば、
　a : y=A_1x+B_1
　b : y=A_2x+B_2
ならば、
　a・b : y=A_1(A_2x+B_2)+B_1=A_1A_2x+A_1B_2+B_1
です。すると、単位元は？逆元は？

回答No.2

Nandayer

(1) ～ (3) を示す前に、集合Ｇの上で与えられた演算がきちんと定義できることを示しておいた方がよいと思います。
　このことは、よく「積に関してＧが閉じていること」と言い表されます。
　この問題の場合ですと、ｘの係数が０でない１次関数の合成関数が、またｘの係数が０でない１次関数になるということです。