部分群であることの証明

質問

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。

回答よろしくお願いします。

回答No.23

B-juggler · ベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな？

この問題では二つの同値　～　と　⇔　がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体（０を除く）　（以下、Ｒ０　と書くことにしますね）と

演算子掛け算　×　を持ってくると、群の定義は？

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

Ｒ０の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

　＃無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「１」ですね。　任意のＲ０∋ｃ　について、

ｃ×１＝ｃ　動かないので単位要素だね。

逆要素は、ｃ＾（－１）だね。　ｃ×（１／ｃ）＝１　単位要素に帰るわけだから。

　＃０をどけたのは、これができないから。

例）　ｃ＝√２　のとき　ｃ×ｃ＾（－１）＝√２／√２　＝１

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Ｈもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな？　そしたら少しつかめると思うけど。

そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ～と思ってました。

「群論への３０講」　志賀浩二　著　朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ（＾＾；）

本屋さん（大きな）に行く機会があったら、捜してみて？

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。

代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな？

群　って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね？

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。

でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにＨの要素を

持ってきてみて？

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

回答No.3

koko_u_u

>これは、HがGの部分群であることの証明に使いますか??

使いません。
「～ が同値関係である」をHを使って書き下してみましょうか。

補足

自分なりに「～ が同値関係である」をHを使って書き下してみました。

(1)
aa^(-1)=e∈H
よって、a～a
(2)
a～bとすると、
ab^(-1)∈H
よって、(ab^(-1))^(-1)=ba^(-1)∈H
ゆえに、b～a
(3)
a～b、b～cとすると、
ab^(-1)∈H、bc^(-1)∈H
よって、ab^(-1)bc^(-1)=ac^(-1)∈H
ゆえに、a～c
以上から、
～は同値関係である。

いかがでしょうか…??
ご指導よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

あれ? 「x, y ∈ H のとき xy ∈ H」はいわなくていいんだっけ?

補足

回答ありがとうございました。

（no.1さんへの補足も兼ねて…）

結合法則がどうだのと言いましたが、群であることの証明とごちゃごちゃになっていました。
すみません…。

HがGの部分集合であるとは、
(1)H∋a,b⇒ab∈H
(2)e∈H
(3)H∋a⇒a^(-1)∈H
満たす時を言いますが、
ほぼ自明であっても、証明に何を書けばよいのかわかりません。

ちなみに、
G:群、H:正規部分群
G∋a,bに対し、a～b⇔ab^(-1)∈H
とすると、[a],[b]∈G/～に対し、
[a][b]=[ab]で積が定義できる。
…ということは、証明できています。
これは、HがGの部分群であることの証明に使いますか??

ご指導よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_u

ほとんど自明なんですが、どの辺が書けないのかわかりません。
まずは (1)結合則から補足にどうぞ。