位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

質問

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか？

シローの定理が必要だとおもうのですが。。。

<シローの定理>
(1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ
よってシローp-部分群は存在する

(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する

(3)シローp-部分群は互いにG共役

(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

位数45の群をG、Gの位数9の部分群をPとする。

＞<シローの定理>
＞(4)シローp-部分群の個数は1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
がポイント

しかもシローp-部分群の個数は|G：P|だから、|G|=45
の約数である。

45の約数1,3,5,9,15,45のうち3で割ると1余るのは1のみである

したがってGのシロー9-部分群の個数は1個である。

Gから元kを任意にとる。
群kPk^(-1)を考えるとkPk^(-1)の位数は9である。
ところが、のシロー9-部分群は1個だからkPk^(-1)＝P
でなければならない。

したがってPはGの正規部分群である。