余剰群が正規部分群でなければいけない証明

質問

余剰群の演算において
群Gの部分群Kでa,b ∈Gの時

Ka*Kb=Kab

が成り立つ時、

部分群Kは正規部分群である。
というのを証明したいのですが、

一つのやり方として、
k,k'∈K

Ka=Ka*K1=Ka*Kk=Kak
と出来き、
ka=k'ak''
=>k'^-1k=ak'a^-1∈K
となることにより、Kは正規部分群であると言える、という証明'が記述してあるのは拝見したんですが、

もう一つの証明の仕方として、
g∈aK
Kg=Kak'=Ka*Kk'=Ka
=>
kg=k'a
g=k^-1k'a∈Ka　から　aK⊆Ka
が示せます。

そして　Ka⊆aK
を示すことが出来れば、Ka=aKとなり、
正規部分群の定義　aK=Kaとして、Kが正規部分群と言えるとなります。
ですが、

どうやってKa⊆aKを証明すればいいのか分かりません。。

どなたか分かる方よろしくお願いします。

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

←A No.4 補足
質問文中の証明前半から、群の任意の元 a について
aK⊆Ka ですから、a の代わりに aの逆元 を使えば
(aの逆元)K⊆K(aの逆元) となります。
式の左右両方から a を掛けると、Ka⊆aK。
これだけでいいのでした。

最後の式の両側に a を掛る部分は、
aK や Ka の定義に基づいて
少し説明が必要かもしれません。
やってみてください。

お礼

又の回答ありがとうございます。
やっと分かりました。ありがとうございます

回答No.5

ramayana

「aK⊆Ka　⇒　aKa^(-1)⊆K　から、Ka⊆aKであると言うことでしょうか」

⇒　任意のaについてaKa^(-1)⊆Kですから、aの代わりにa^(-1)をとって、左からaをかければ、

a^(-1)Ka⊆K　⇒　Ka⊆aK

となります。

お礼

またの回答ありがとうございます。
よく分かりました＾＾

回答No.4

alice_44

ああ、そうか。
前半より (aの逆元)K⊆K(aの逆元)
だけでいいのか。

お礼

又の回答ありがとうございます
どういう意味でしょうか？？
もう少し詳しく教えてくださるとありがたいです！

回答No.3

ramayana

ANo.2です。勘違いしていました。Ka*Kbというのは、Kaに属する元とKbに属する元の積全体から成る集合のことですね。

後半の証明ですが、Gの任意の元aに対して

aK⊆Ka　⇒　aKa^(-1)⊆K

となるので、Kが正規部分群であると知れます。

お礼

回答ありがとうございます。

記号を明確に説明せず、申し訳ありませんでした；；

Ka*Kbというのは集合ではなく、＊は剰余群で成り立つ演算を示したものです。
つまり、写像：Ka*Kb=Kab　
はf(Ka,Kb)=Kab
は、確かに正規部分群だと成り立つが、
逆にこの写像が成り立つにはKが正規部分群であることの証明がしたかったんです。

aK⊆Ka　⇒　aKa^(-1)⊆K
では、確かにそれが正規部分群であることが証明されるのですが、

もしそれが、正規部分群であるならば、集合　Ka=Ka
つまり、aK⊆Ka とKa⊆aK
が証明出来るはずです。

そこでaK⊆Kaは証明出来るのですが、Ka⊆aKが証明出来ず悩んでたんですが、つまり

aK⊆Ka　⇒　aKa^(-1)⊆K　から、Ka⊆aKであると言うことでしょうか。

回答No.2

ramayana

言葉や記号の意味をひとつひとつ明確にする作業が先決だと思います。

まず、Ka*Kb というのは、何を意味しているのでしょうか？

もし、剰余群（「余剰群」と言わない!）としての演算を考えているのなら、Kが正規部分群であることは、前提条件ですから、「証明されるべきこと」でありません。

回答No.1

alice_44

ひとつめの証明は、K,k,k',k'' が入り乱れて読み難いのですが、
∀k∈K; Ka=K(ak) から ∃k',k''∈K; k''a=k'ak を言った後、
aka^-1=k'^-1k''∈K が言える …の間違いではないでしょうか？
途中で k,k',k'' の役割を取り違えている気がします。
∀ と ∃ が異なるので、入れ換えることはできないのです。

もうひとつの証明の前半は、間違ってはいませんが、
g∈aK ならば、∃k''∈K; g=ak'' だから
Kg=K(ak'')=Ka*Kk''=Ka*K=Ka*K1=K(a1)=Ka.
よって、∃k,k'∈K; kg=k'a より g=k^-1k'a∈Ka.
程度には説明しておいたほうがよいと思います。

後半については、
結局ひとつめの証明に帰着してしまう証明しか思いつきませんでした。
何かスパッと簡明なやりかたがあるのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。

記号が大変混み合ってしまい申し訳ありません。。
違うアルファベットでも使うべきでした。

＞∀k∈K; Ka=K(ak) から ∃k',k''∈K; k''a=k'ak を言った後、
＞aka^-1=k'^-1k''∈K が言える …の間違いではないでしょうか？
本当だ！
間違えてました。

というか、皆さんのご意見を参考にして、色々考えて思いついたのですが,
b∈Ka
とします。
つまり、∃ k∈K, ka=b∈Ka

で、
Kb=Kb*K1=Kka*Kk'=Kk*Kak'=Kak'
＝＞∃t,s ∈K
tb=sak'
s^-1*t*b=ak'

s^-1*t=r　とすると
r∈K
で
rb=ak'
ということが言え、

rK={rb l b∈Ka}の集合は、Kaと同等であるから
Ka=rK⊆aK

が言える、というので証明できるんじゃないでしょうか！？
これはあってますでしょうか？？