ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

質問

※a→は「aベクトル」という意味です。

四面体OABCがあり、頂点Aから平面OBCに下ろした垂線と平面OBCとの交点をHとします。
OA→＝a→、OB→＝b→、OC→＝c→とおきます。｜a→｜＝｜b→｜＝２、｜c→｜＝１、a→・b→＝c→・a→＝1/2、∠BOC＝60°のとき、

（１）△BOCの面積を求めてください。（途中式もお願いします。）
（２）AH→をa→、b→、c→を用いて表してください。（途中式もお願いします。）
（３）四面体OABCの体積を求めてください。（途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、
（１）√3/2
（２）AH→＝－a→＋(c→/2)
（３）√5/4

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞四面体OABCがあり、頂点Aから平面OBCに下ろした垂線と平面OBCとの交点をHとします。
＞OA→＝a→、OB→＝b→、OC→＝c→とおきます。｜a→｜＝｜b→｜＝２、｜c→｜＝１、
＞a→・b→＝c→・a→＝＞1/2、∠BOC＝60°のとき、

＞（１）△BOCの面積を求めてください。（途中式もお願いします。）
面積の公式より、
(1/2)×｜ｂ｜×｜ｃ｜×sin60°＝(1/2)×２×１×√３／２＝√３／２

＞（２）AH→をa→、b→、c→を用いて表してください。（途中式もお願いします。）
△ＯＢＣで、余弦定理より、
ＢＣ^2＝ＯＢ^2＋ＯＣ^2－２×ＯＢ×ＯＣ×cos60°
＝４＋１－２×２×１×(1/2)
＝３より、　ＢＣ＝√３
よって、△ＯＢＣは、１：２：√３の直角三角形で、角ＯＣＢ＝９０度だから、
ＯＣが、底辺ＢＣの垂線。
頂点Ａから、△ＯＢＣにおろした垂線の足Ｈは、△ＯＢＣの垂線上にあるから、、
Ｈは、直線ＯＣの延長線上にある。
よって、ＯＨ＝ｋＯＣとおける。ＯＨ＝ｋｃ
ＡＨとＯＣは垂直であるから、ＡＨ・ＯＣ＝０
ＡＨ＝ＯＨ－ＯＡ＝ｋｃ－ａより、
ＡＨ・ＯＣ＝（ｋｃ－ａ）・ｃ
＝ｋ｜ｃ｜^2－（ａ・ｃ）
＝ｋ・１^2－（１／２）
＝０より、　ｋ＝１／２
よって、ＡＨ＝(1/2)ｃ－ａ

＞（３）四面体OABCの体積を求めてください。（途中式もお願いします。）

｜ＡＨ｜^2＝｜(1/2)ｃ－ａ｜^2
＝(1/4)｜ｃ｜^2－（ａ・ｃ）＋｜ａ｜^2
＝(1/4)×１－(1/2)＋４
＝15/4より、ＡＨ＝√１５／２
よって、体積＝（１／３）×（√３／２）×（√１５／２）
で答えになります。

お礼

お二人方、ありがとうございました。

回答No.1

aries_1

以下*は掛け算を表します

(1)|b→|=2、|C→|=1、∠BOC＝60゜より、面積公式は「1/2*OB*OC*sin∠BOC」なので、面積は1/2*2*1*sin60゜=√3/2」

(2)b→・c→=|b→||c→|cos60゜=1
点Hは△BOC上にあるので、OH→(以下h→)=sb→+tc→…(1)(s、tは実数)とおける。
ここでAH(=h→-a→)⊥面BOCより、
AH→・OB→=(h→-a→)・b→=0⇔h→・b→=a→・b→=1/2…(2)
AH→・OC→=(h→-a→)・c→=0⇔h→・c→=c→・a→=1/2…(3)
(2)(3)に(1)を代入すると
(2)⇔(sb→+tc→)・b→=s|b→|`2+tb→・c→=4s+t=1/2…(4)
(3)⇔(sb→+tc→)・c→=sb→・c→+t|c→|`2=s+t=1/2…(5)
(4)(5)を連立して解くとs=0、t=1/2
よって(1)よりh→=1/2c→
故にAH→=-a→+h→=-a→+1/2c→」

(3)|AH→|`2=|-a→+1/2c→|`2=|a→|`2-a→・c→+|1/4c→|`2=4-1/2+1/4=15/4
よって|AH→|=√15/2(←これが四面体の高さに相当)
四面体の底面積は(1)より√3/2なので、求める体積は、1/3*√3/2*√15/2=√5/4」
分かりにくかったらすみませんm(__)m