数学B ベクトルの問題です（早めにお願いします）

質問

Oを原点とする座標空間に、４点A(1,0,1),B(2,-1,1),C(2,-2,2),D(a,b,c)がある。
(1)↑AB=(1,-1,0),↑AC=(1,-2,1)であるから、|↑AB|=√2,|↑AC|=√6である。
よって、↑ABと↑ACのなす角をθ(0°≦θ≦180°)とすると、θ=アイ°であり、三角形ABCの面積は√ウ/エである。

(2)↑ADが↑ABと垂直であるとき、b=a-オが成り立つ。

直線ADが平面ABCと垂直で、さらに四面体ABCDの体積が1/2であるならば、点Dの座標は
(カ,キク,ケ）または（コ,サ,シ）
である。このうち、点Dの座標が（コ,サ,シ）のとき、線分BDの中点をMとする。

平面ABC上を動く動点Pに対して、２つの線分DP,MPの長さの和DP+MPの最小値は√(スセ)/ソであり、このとき線分APと線分BPの長さの比AP/BPの値はタ/チである。

解答
アイ°=30°
√ウ/エ=√3/2
オ=1
(カ,キク,ケ）=(0,-1,0）
（コ,サ,シ）=（2,1,2）
√(スセ)/ソ=√(29)/2
タ/チ=1/2

この問題の解き方がわかりません
解き方を教えて下さい

できれば今日（１２月１２日）朝７時３０分までによろしくお願いします

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞Oを原点とする座標空間に、４点A(1,0,1),B(2,-1,1),C(2,-2,2),D(a,b,c)がある。
＞ (1)↑AB=(1,-1,0),↑AC=(1,-2,1)であるから、|↑AB|=√2,|↑AC|=√6である。
＞ よって、↑ABと↑ACのなす角をθ(0°≦θ≦180°)とすると、θ=アイ°であり、三角形ABCの面積は√ウ/エである。
AB・AC＝1・1＋(-1)・(-2)＋0＝3
cosθ＝AB・AC/|AB|・|AC|＝3/√2・√3＝√3/2　より、θ＝30°……アイ
△ABCの面積＝(1/2)・√3・√6・sin30°＝(1/2)・√3・√6・(1/2)＝√3/2　……ウエ

＞(2)↑ADが↑ABと垂直であるとき、b=a-オが成り立つ。
↑AD＝(a-1，b，c-1)　AD・AB＝(a-1)・1＋b・(-1)0＋0＝a-1-ｂ＝0より、b＝a-1　…オ

＞直線ADが平面ABCと垂直で、さらに四面体ABCDの体積が1/2であるならば、点Dの座標は
＞ (カ,キク,ケ）または（コ,サ,シ）
AD⊥△ABCだから、AD⊥ABより、b＝a－1　……(1)
同じく、AD⊥ACより、AD・AC＝(a-1)・1－2b＋(c-1)＝a－2b＋c－2＝0　……(2)
|AD|^2＝(a-1)^2＋b^2＋(c-1)^2
四面体の体積＝(1/3)・AD・△ABC＝1/2より、
(1/9)・AD^2・(√3/2)^2＝(1/2)^2だから、AD^2＝3から、
(a-1)^2＋b^2＋(c-1)^2＝3　……(3)
(1)(2)(3)を連立で解くと、
a＝ｃ＝0，ｂ＝-1　または、a＝c＝2，b＝1
(0,-1,0)　…カキクケ，　(2,1,2)　…コサシ

＞ である。このうち、点Dの座標が（コ,サ,シ）のとき、線分BDの中点をMとする。
＞平面ABC上を動く動点Pに対して、２つの線分DP,MPの長さの和DP+MPの最小値は√(スセ)/ソであり、
＞このとき線分APと線分BPの長さの比AP/BPの値はタ/チである。
AD⊥ABだから、△BADは、∠BAD＝90°の直角三角形。
D(2,1,2)だから、AD＝(1,1,1)より、|AD|＝√3，
BD＝(0,2,1)より、|BD|＝√5
AD・BD＝0＋1・2＋1・1＝3
cos∠BDA＝AD・BD/|AD|・|BD|＝3/√3・√5＝3/√15

DP+MPが最小になるのは、PがAB上にあるとき。
点Dと点Aについて対称な位置に点D'をとると、
AD＝AD'＝√3　……(4)
MとD'を結んだ線分とABの交点をPとすると、線分MD'の長さが、DP＋MPの最小値である。
理由は、
(4)と∠DAP＝∠D'AP＝90°，APは共通　より、2辺とはさむ角が等しいから、
△APD≡△APD'
これより、DP＝D'P　だから、
DP＋MP＝D'P＋MP＝MD'

△DMD'で、DM＝(1/2)BD＝√5/2，(4)より、DD'＝2√3　
cos∠MDD'＝cos∠BDA＝3/√15
余弦定理より、
MD'^2＝DM^2＋DD'^2-2・DM・DD'・cos∠MDD'
＝(√5/2)^2＋(2√3)^2－2・(√5/2)・2√3・(3/√15)
＝29/4　より、
MD'＝√29/2　
よって、DP＋MPの最小値＝√29/2　……スセソ

点Mから、ADに垂線を引き、交点をM'とする。
△ABDで、
MはBDの中点，
MM'⊥AD、AB⊥ADより、MM'//AB　だから、
中点連結定理（の逆）より、
M'はADの中点で、AM'＝(1/2)AD＝√3/2
また、MM'＝(1/2)AB＝√2/2
△D'APと△D'M'Mとで、
MM'//AP（MM'//AB)より、2組の同位角が等しいから、
２つの角がひとしいから、
△D'AP∽△D'M'M
これより、AP：M'M＝D'A：D'M'
AP：(√2/2)＝√3：{√3＋(√3/2)}
だから、AP＝(√2/2)・√3・(2/3√3)＝√2/3
AP：AB＝(√2/3)：√2＝1：3　より、AP：BP＝1：2　
よって、AP/BP＝1/2　……タチ

後半（最小値を求めるところから）は、図をかいて考えてください。
説明を書けばこのように長くなりますが、図をかいて見ればもっとわかりやすいと思います。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

noname#181872

この質問も予習ですか？そうであればあなたに必要なのは予習ではなく
復習なのでは？空間（3次元）のベクトルを解こうとしているのならば、
平面（2次元）のベクトルは理解していますよね。
平面のベクトルを解く上でおそらく何回も出てきた内積を使えば
この問題、ほとんど解けるのでは？