【ベクトルと空間図形】

質問

空間にA(-2,0,0),B(0,2,0)C(0,0,2),D(2,-1-,0)がある。
三転A,B,Cを含む平面をTとする。　

（１）点Dから平面Tにおろした垂線の足Hの座標を求めよ。

（２）平面Tにおいて、3点A,B,Cを通る円Sの中心の座標と半径を求めよ。

（３）点Pが円Sの周上を動くとき、DPの長さが最小になるPの座標は？

答え
（１）（1/3,2/3,5/3)

（２）中心(-2/3,2/3,2/3)、半径2√6/3

（３）(-2+2√3/3,2/3,2+2√3/3)

解ける方いらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
平面Tの式を求めてみる。ax+by+cz+d=0とすると-2a+d=2b+d=2c+d=0となるからb=c=-aでd=2aだ。
つまり平面の式はax-ay-az+2a=0つまりx-y-z+2=0だな。
ここから平面Tの法線ベクトルはn=(-1,1,1)だということはわかる。
だからH=D+kn=(2-k,-1+k,k)となって、これが平面Ｔの上にあるから(2-k)-(-1+k)-k+2=0でk=5/3
答えH=(1/3,2/3,5/3)
(2)
中心Cは簡単でC=(A+B+C)/3=(-2/3,2/3,2/3)
半径はたとえばCAを計算する。CA^2=(-2/3+2)^2+(2/3)^2+(2/3)^2=(2/3)^2*(2^2+1^2+1^2)=(2/3)^2*6だからCA=2√6/3
(3)
DPが最小になるのは明らかにHPが最小になるときである。
CH=(1,0,1)=√2で、CP=2√6/3だからP=C+2√3/3*CH=((-2+2√3)/3,2/3,(2+2√3)/3)

ベクトルとベクトルの大きさを区別しないで書いたり、ちょっと見慣れない書き方かもしれないが意味は分かるだろう。

回答No.2

ferien

＞空間にA(-2,0,0),B(0,2,0)C(0,0,2),D(2,-1-,0)がある。
＞三転A,B,Cを含む平面をTとする。　

＞（１）点Dから平面Tにおろした垂線の足Hの座標を求めよ。
平面Ｔ：ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０とおくと、Ａ，Ｂ，Ｃを含むから、
－２ａ＋ｄ＝０より、ａ＝(1/2)ｄ
２ｂ＋ｄ＝０より、ｂ＝(-1/2)ｄ
２ｃ＋ｄ＝０より、ｃ＝(-1/2)ｄ
ａ：ｂ：ｃ：ｄ＝１：－１：－１：２だから、ｘ－ｙ－ｚ＋２＝０　……（１）
放線ベクトルｎ＝（１，－１－１）とおける。
Ｈ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）とおくと、ＤＨ＝（ｘ0－２，ｙ0＋１，ｚ0）
ＤＨと法線ベクトルは平行だから、ＤＨ＝ｔｎとおける。
よって、ｘ0＝ｔ＋２，ｙ0＝－ｔ－１，ｚ0＝－ｔ　……（２）
（１）に代入すると、ｔ＋２－（－ｔ－１）－（－ｔ）＋２＝０
ｔ＝－５／３，（２）に代入して、
Ｈ（１／３，２／３，５／３）

＞（２）平面Tにおいて、3点A,B,Cを通る円Sの中心の座標と半径を求めよ。
中心をＯ（ａ，ｂ，ｃ），半径をｒとすると、
円Ｓ：（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－ｂ）^2＋（ｚ－ｃ）^2＝ｒ^2
Ａ，Ｂ，Ｃを通るから、
（－２－ａ）^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｒ^2
ａ^2＋（２－ｂ）^2＋ｃ^2＝ｒ^2
ａ^2＋ｂ^2＋（２－ｃ）^2＝ｒ^2
展開して整理すると、
４＋４ａ＝４－４ｃより、ａ＝－ｃ
４－４ｂ＝４－４ｃより、ｂ＝ｃ
中心Ｏは平面上の点だから、（１）へ代入して、
－ｃ－ｃ－ｃ＋２＝０より、ｃ＝２／３，ｂ＝２／３，ａ＝－２／３　……中心
さっきの３つの式のいずれかに代入して、
ｒ^2＝８／３より、ｒ＝２√６／３

＞（３）点Pが円Sの周上を動くとき、DPの長さが最小になるPの座標は？
Ｐ（ｘ1，ｙ1，ｚ1）とおく
DPの長さが最小になるのは、垂線の足Ｈと、中心Ｏ、Ｐが一直線上にあるとき、だから、
ＯＰ＝ｋＯＨとおける。
ＯＰ＝（ｘ1＋2/3，ｙ1－2/3，ｚ1－2/3）
ＯＨ＝（1/3＋2/3，2/3－2/3，5/3－2/3）＝（１，０，１）
だから、ｘ1＝ｋ－2/3，ｙ1＝2/3，ｚ1＝ｋ＋2/3　……（３）
｜ＯＰ｜＾２＝ｒ^2＝８／３
｜ＯＨ｜^2＝１^2＋０＋１^2＝２
よって、｜ＯＰ｜^2＝ｋ^2｜ＯＨ｜^2より、
８／３＝２ｋ^2より、ｋ^2＝４／３，ｋ＝２√３／３
（３）に代入して、
Ｐ（２√３／３－２／３，２／３，２√３／３＋２／３）
＝（（－２＋２√３）／３，２／３，（２＋２√３）／３）