Oを原点とする座標空間に3点A(14,0,0) B

質問

Oを原点とする座標空間に3点A(14,0,0) B(0,7,0) C(0,0,2)をとりこの三点を通る平面をαとする。さらにα上の点PをOP↑とαが垂直になるようにとるとき、OP↑を求めよ

OP↑をmOA↑+nOB↑+(1-m-n)OC↑と置いてやったのですが計算が合わなかったのでよろしくお願いします。
また前述にOABCの面積を求めさせる問題があったのでそれ絡みかもしれません
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2の補足の質問について

>直線の方程式がax+by+cz=1のときは
３次元の座標空間では
　ax+by+cz=1
は平面の方程式であって、直線の方程式にはなりえません。
直線の定義は以下の2通りあります。

(1)直線は平面と平面の交線として定義されます。
　(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c
　(x0,y0,z0)は直線が通る点の座標、(a,b,c)は方向ベクトル。

または
(2)位置ベクトルと方向ベクトルの和として定義できます（媒介変数表示）。
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c) (tは媒介変数）
　　　　=(x0+at, y0+bt, z0+ct)
(x0,y0,z0)は点の位置ベクトル、(a,b,c)は方向ベクトル。

>平面に垂直じゃなくても平面上にあればベクトルに適用できますよね？
？？？

平面の方程式は、以下の２通りの定義があります。
(1)平面上の点(x0,y0,z0)とそこを始点２つの平行でないベクトルで定義される（媒介変数表示）。
　(x,y,z)=(x0,y0,z0)+s(a,b,c)+t(d,e,f) (s,tは媒介変数)
または
(2)平行でない２平面の交線として定義される。
ax+by+cz=d　かつ　ex+fy+gz=h (但し、a:b:c:d≠e:f:g:h)

回答No.2

info22_

>前述にOABCの面積を求めさせる問題があったのでそれ絡みかもしれません

「OABCの体積を求めさせる問題」の間違いでは？

体積なら
　V=OA*OB*OC/6=14*7*2/6=98/3
ですね？
△ABCの面積Sは
3平方の定理より
AB=√(14^2+7^2)=7√(5), BC=√(7^2+2^2)=√(53), AC=√(14^2+2^2)=10√(2)
ヘロンの公式を用いて、s=(AB+BC+AC)/2=(7√(5)+√53+10√2)/2
　S=√{(7√(5)+√53+10√2)(-7√(5)+√53+10√2)(7√(5)-√53+10√2)(7√(5)+√53-10√2)}/4
　 =(1/4)√{(-49*5+(√53+10√2)^2)(49*5-(√53-10√2)^2)}
　 =(1/4)√{(-245+253+20√106)(245-253+20√106)}
　 =(1/4)√{(8+20√106)(-8+20√106)}
　 =(1/4)√(400*106-64)
　 =√(2646)=21√6

したがって V=S*OP/3より
　OP=3V/S=98/(21√6)=7√6/9
が得られます。
平面αの方程式は
　x/14 +y/7 +z/2=1 ...(◆)
なので直線OPの媒介変数形式の方程式は
　(x,y,z)=(k/14,k/7,k/2)　...(※1)
直線OPと平面αの交点Pは(※1)を(◆)に代入して
　k/14^2 +k/7^2 +k/2^2 =1
　∴k=1/(1/196 +1/49 +1/4)=98/27
(※1)より OP↑=(7/27,14/27,49/27) ...(答え)

なお、
>OP↑をmOA↑+nOB↑+(1-m-n)OC↑と置いて
　OP↑=(14m,7n,2(1-m-n)) ...(※2)
Pの座標を(x,y,z)とすると
(※1),(※2)から
　14m=k/14,7n=k/7,2(1-m-n)=k/2
k,m,nについて解けば
　k=98/27, m=1/54, n=2/27
このm,nを(※2)に代入すれば
　OP↑=(7/27,14/27,49/27) ...(答え)
が得られます。

お礼

ものすごい詳しい説明ありがとうございます！感謝の限りです！
ところで…実は平面の方程式の知識が曖昧だったのですが…直線の方程式がax+by+cz=1のときは平面に垂直じゃなくても平面上にあればベクトルに適用できますよね？
すみません、よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi

「計算が合わなかった」とは、どういう式を立てたのでしょうか？
「OABC」では、面積にはならないと思うのですが、おそらくOP→を求めることとは関係がないと思います。
どちらかというと、OP→と△ABCの面積を組合せて、三角錐の体積を求める方かと。

ちなみに、同じような問題が、先日あったセンタ数学IIBで出ています。