x^4+1-=0 の解

質問

x^4+1-=0　の解
がわかりません。
x=±√i
でよいでしょうか？？

回答No.1

noname#108260 · ベストアンサー

±（1+i）/√2,±（1-i）/√2
でしょう、複素平面で考えれば一発です。
虚数が根号の中に入っているのは展開可能です。

お礼

ありがとうございます。
展開の方法調べました！

回答No.6

koko_u_u

>√i=（1+i）/√2
>ということですね？

違います。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

alice_44

式を変形して、
(x~2)~2 = -1。
二度開平すれば、
x~2 = ±i
x = ±√(±i)
でしょう？

重根が無いことは、
f(x) = x~4 - 1
と置いて、
f(x) = 0 と
df/dx = 0 を
連立すると解が無い
ことを示せば判りますが、
方程式を解いてしまう
ほうが、ずっと早い。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

四次方程式だから、解は 4 個みつけないと。
±√(±i) ですよ。
他の回答者が示しているように、
少し展開整理すると更によいけれど。

お礼

ありがとうございます。
なぜ重解でなく、解は４つとわかるのでしょうか？

回答No.3

noname#112109

x^4＋1＝0の誤りと思われます。ならば与式より
x^4＝－1＝cos(π＋2πn)＋i sin(π＋2πn) (nは整数)
ド・モアブルの定理より
x＝cos(π/4＋πn/2)＋i sin(π/4＋πn/2)
（中略）
以上より，x＝±cos(1/√2)±i sin(1/√2) (複号任意)

お礼

ありがとうございます。
ド・モアブルの定理の定理ですが
難しいですね。

回答No.2

koko_u_u

>x=±√i
>でよいでしょうか？？

√i の定義を補足にどうぞ。

お礼

ありがとうございます。
√i=（1+i）/√2
ということですね？