x^2+4y^2=1 の解について

質問

x^2+4y^2=1　をみたす共に有理数のx,yがある。解(x,y)は無数にあることを示せ。
　x=a/b,y=p/q　とおいて、式を変形して、その式が無数の整数解をもつことを示す方針で考えていますが、その無数に解をもつ方程式がどんな形にこの場合なるのか、行き詰まっています。ポイントとなるところについてアドバイス、ヒントがあればと思います。

回答No.3

nag0720

＞x=(m^2-n^2)/(m^2+n^2)
＞y=mn/(m^2+n^2)
＞の見つけ方はどうなるでしょうか

m,nに適当な整数を入れるだけです。（なんでもOK）

なお、mとnが互いに素なら、mnと(m^2+n^2)も互いに素なので、
y=mn/(m^2+n^2)　は無数にあることが分かります。
（例えば、m=2,n=奇数）

回答No.2

he-goshite-

ピントが外れていたらごめんなさい。

有理数の解(x,y）が有限の個数であるとして，
その有限の（x,y）以外の有理数の組，たとえば（X,Y）が解となりうることを言ったらどうですか？

回答No.1

nag0720

ピタゴラス数をご存知でしょうか。
a^2+b^2=c^2
の整数解のことですが、これが無数にあることは知られています。

１つの解として、次の解があります。
a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2
(但し、m>n)

これを応用して、
x=(m^2-n^2)/(m^2+n^2)
y=mn/(m^2+n^2)
とすれば、x^2+4y^2=1　が成立します。

あとは、m,nを変えることによってx,yが無数にあることを示せばOKです。

補足

x=(m^2-n^2)/(m^2+n^2)
y=mn/(m^2+n^2)
の見つけ方はどうなるでしょうか