(x^3) -18x-35の解について

質問

(x^3) -18x-35をカルダノの公式を使って解いているのですが、ｘを求め方がわからなくて困っています。

とりあえずu=3,v=2となり、一つ目の解がx=5ということは判明したのですが
その後の、3ω+2ω＾2,3ω＾2+2ωの求め方がわかりません。
また、ωは（ｘ＾2）+ｘ+1の根になるかよくわかりません。
そもそも、
なぜ（ｘ＾2）+ｘ+1がででくるのか
なぜ（ｘ＾2）+ｘ+1の根の話がででくるのか

ｘ＝5がわかったのでｘ-5で割れって(2次の)解の公式答えは導き出せますが、
ωを使ってどうしても解きたいです。

回答よろしくお願いします。

回答No.3

keiryu · ベストアンサー

＞ωは（ｘ＾2）+ｘ+1の根になるかよくわかりません。

ωは、χ^3－１＝０の解の一つを表すものです、。
この３次式の解は、1、ω、ω^2と表されます。
というのは、χ^3－１＝０は、（χ－１）（χ^2＋χ＋１）＝０と表されますから、
これを解いて、解は、１、-1/2+√3ｉ＝ω、-1/2-√3ｉ＝ω^2。
要するに、、-1/2+√3ｉでは、面倒なので、ωと省略している。3.1415・・じゃ面倒だからπと表すのと一緒

ωは、この３次式の解の一つですから、χ^2＋χ＋１に代入するとω^2＋ω＋１＝０
よって、ω^2＝－ω－１となる。
これを、３ω+２ω^2に、代入すると、３ω－２（－ω－１）＝ω＋2となり、
ω＝-1/2+√３ｉを代入して、計算する結果に行き着く。

補足

>ωは、χ^3－１＝０の解の一つを表すものです

つまり、ωは、χ^3－１＝０の解の一つを表すというルールをどこかの数学者が決定をして定数として扱おうという流れはわかったのですが、ひとつ気になったのが
＞-1/2+√3ｉ＝ω、-1/2-√3ｉ＝ω^2
の部分で、-1/2+√3ｉ＝ωを2乗しても-1/2-√3ｉ＝ω^2に一致しないと思うのですが
どのように考えたらよろしいでしょうか？

回答No.6

hiccup

ANo.5 に間違いがありました。

>から　u^3 = -8, v^3 = -27
>を解くことになります。第二式も忘れずに。
>
>答え　(u, v)=(-2, -3), (-2ω, -3ω^2), (-2ω^2, -3ω)

には、u^3 = -27, v^3 = -8　もあります。

回答No.5

hiccup

u と v を求めるときに立方根で出るはずですが、虚数を見落としてませんか？

u^3 + v^3 = -35
uv = 6

から　u^3 = -8, v^3 = -27
を解くことになります。第二式も忘れずに。

答え　(u, v)=(-2, -3), (-2ω, -3ω^2), (-2ω^2, -3ω)

カルダノの公式のキモは

x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = (x+y+z)(x+yω+zω^2)(x+yω^2+zω)

です。y と z をそれぞれ u と v に置き換えると、根が丸見えでしょう。

この丸見え根で、(u, v) のどの組を選んでも、同じ根が得られます。（←ここは確認してほしい。簡単です）ということは、(u, v) の３つの組から方程式の解が得られるということでもありますね。

回答No.4

f272

> なぜω^3-1の話が唐突にでてきて意味がわかりません。

1の立方根（詳しく言えば虚立方根であり，実立方根=1とは異なる）をωと名づけたのだからω^3-1=0なのは当然では？
なお{ω,ω^2}={(-1+√3)/2，(-1-√3)/2}は書き間違いであって，{ω,ω^2}={(-1+i√3)/2，(-1-i√3)/2}だった。またω=(-1+i√3)/2と決められているわけではない。
ω=(-1+i√3)/2であればω^2=(-1-i√3)/2であるし，
ω=(-1-i√3)/2であればω^2=(-1+i√3)/2である。
ωは(-1+i√3)/2か(-1-i√3)/2のどちらかと決められているだけです。

回答No.2

noname#232123

x^3 - 18x - 35=0.
x=u+v とおくと、
u^3+v^3=35, uv=6 にとるとよいことになります。
このとき、u>v とすると、
(u, v)=(3, 2)
ですから、ｘ＝５以外の解は、
x=3*ω+2*ω^2, 3*ω+2*ω
となり、これらは、{-5±i*√3}/2 に一致します。

回答No.1

f272

ωって1の3乗根ですよ。具体的には{ω,ω^2}={(-1+√3)/2，(-1-√3)/2}です。
これを使って3ω+2ω＾2,3ω＾2+2ωを計算するだけですが，何がわからないんでしょう。
ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)ということもわかっていますか？

補足

＞ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)ということもわかっていますか？
この等式が成り立つのはわかりますが、なぜω^3-1の話が唐突にでてきて意味がわかりません。