3次方程式x^3+x^2-2x-1=0の解

質問

3次方程式x^3+x^2-2x-1=0の解をαとします。もちろんカルダノの公式なり何なりでαを具体的に記述することは出来ると思います。さて、
α^2-2
を方程式に代入すると、αが解であることから、α^2-2も解になることが容易に分かります。つまり解が一個見つかれば、それを2乗して2を引けばそれもまた解であることが分かるので、重複しないことさえ確認しておけば、3つの解は
α,α^2-2,(α^2-2)^2-2
と出来ることになります。こういう問題の誘導がついていれば、もちろんその通りだと思うのですが、α^2-2が元の方程式の解であるということはどうやって分かるのでしょうか？

たとえばx^3-1=0という3次方程式であれば、ひとつの解αに対して、α^2も解になることが分かります。3次方程式のひとつの解をαとおくと、もうひとつの解がαの2次式で書けるという一般的な原理でもあるのでしょうか？

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

ちょっと式をいじってみましたが, 計算が間違っていなければ
「3個の解を α, β, γ としたときに f(α), f(β), f(γ) もまた解である」という 2次式 f は存在します.
全てが実数の場合には簡単. で α だけが実数の場合ですが, (多分) 一般性を失うことなく元の方程式には 2次の項がないと仮定できて, この場合 α = a, β, γ = -a/2 ± bi なる a, b ∈ R が存在します. で, f(α) = α, f(β) = γ, f(γ) = β を満たすような 2次式を作ればいいんだけど β, γ が x^2 + ax + (a^2/4 + b^2) = 0 の解であることと -a = β + γ を利用すれば作れるはずです. えっと, 基本的には -a - x の形で作っておいて (これで β と γ に対しては OK), 上の 2次式の適切な定数倍を加えることで α = a に対してもいけると思います.

お礼

どうもありがとうございます。αを一つの実数解(単根)として、方程式を
(x-α)(x^2+ax+b)=0
と因数分解したとき、
-a-y+c(x^2+ax+b)
なる二次式が実数cをうまくとればα→α、β→γ、γ→βとなる変換を与えるということなのですね。参考になりました。3実解を持つケースで、α→β、β→γ、γ→αの変換を与える二次式があるのか気になったので、また別途質問させていただこうと思います。

回答No.1

nakaizu

まず、3次方程式の解が他の解の二次式で表わせるかと言うといつもできるわけではありません。
たとえば3次方程式に実数解αと虚数解β、γがあったとするとαの二次式は実数ですからβやγをαの二次式で表わすのは不可能です。
既約な3次方程式のガロア群は交代群A3か対称群S3ですが、A3のときのみこの様なことがなりたちます。
方程式の解が他の解の多項式で表わせるかどうか、その多項式はどのようなものになるかは方程式のガロア群というものを調べればわかりますが、詳しいことはここでは書き切れません。ガロア理論などとよばれていますので図書館等で専門書を読んで下さい。
ただし、ある程度の専門知識がないと専門書を読んでも理解できないので、ご了承ねがいます。

お礼

ありがとうございます。前半に書かれている部分で、たとえばx^3-1=0の解をαとおくと、α^2も解になります。もちろんこの場合はα,α^2,α^4が解を尽くすわけではないですが、一つの解に対してあるαの二次式がf(α)があって、f(α)も解になるという主張が、虚数解を持つ場合に対しても否定されたわけではないと思います。この例だとそもそも既約ではないですが。
ガロア群がA3ということは巡回群だと思いますが、ガロア群を求めるという作業をするときに、この生成元が根の置換：α→f(α)という形に陽に求められて、fは二次式になる、ということでしょうか。岩波基礎数学の「体とガロア理論」という本なら持っていたので、少し眺めてみましたがわかりませんでした。
ところで検索をしていたところどうもこの方程式は1の7乗根を求めるときに出てくる方程式らしいというのが分かりました。nakaizu様も過去にご回答されているように思いますが、相反方程式：y^6+y^5+…+y+1=0で、x=y+1/yとおけば、x^3+x^2-2x-1=0を満たし、元のyの方程式の解はηを1の（原始）7乗根とすれば、η^2も解になるので、したがってx'=y^2+1/y^2=(y+1/y)^2-2=x^2-2も解になるということが分かるようです。同じ議論を使って(p-1)/2次の方程式でα^2-2が解になる問題が作れそうです。この問題ならそれほど深刻なことを考えなくてもよかったですが、一般のときにもどうなるかもう少し勉強してみようと思います。