幾何学 同相について

質問

X_1={(x,y)∈R^2:0≦x≦y}
と
x_2={(x,y)∈R^2:x^2+y^2≦1,x≠1}
は同相であることを示したいのですが…
どのような関数を考えればよいですか??

回答よろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

細かいことですが、
「X_2に含まれる点は
　0<θ≦π
　0<r≦ 2sinθ」
は
「X_2に含まれる点は
　0<θ<π
　0<r≦ 2sinθ」
に訂正します。X_2は点(1,0)を加えるとコンパクトになります。したがってこの写像は右半平面もしくはX_1の1点コンパクト化を与えます

お礼

2度も親切な回答ありがとうございました。

少しずつではありますが同相、位相についてわかってきた気がします。

本当にありがとうございました。。。

回答No.1

grothendieck

X_3={(x,y)∈R^2:0≦x}
と
X_1={(x,y)∈R^2:0≦x≦y}
は同相であることは容易に示せるので、X_3とX_2の同相を言う事にします。X_2に含まれる点と点(1,0)を結ぶ線分の長さをr、この線分と直線x=1のなす角度をθとすると、X_2に含まれる点は
　0<θ≦π
　0<r≦ 2sinθ
を満たすr, θで与えられます。
　X= -1+(2sinθ)/r
　Y= tan(θ - π/2)
がX_3とX_2の同相を与えます。