幾何学 同相について

質問

X_1={(x,y,z)∈S^2:|z|＜1/3}(S^2:球)
は
x_2={(x,y)∈R^2:1/2＜x^2+y^2＜2}
と同相であることを示したいのですが…
どのような関数を考えればよいですか??

回答よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

このサイトで私にご教示下さる「権威」の方にとって、もちろんこの問題ができないなんてはずはありません。権威者は高度で深遠な問題にしか関わらないということなのでしょう。
　リーマン球の立体射影のようなものを考えるとX_1とX_2が同相であることを示せると思います。すなわち、X_1に含まれる点とS^2の北極(0,0,1)を結ぶ直線を考えます。X_1に含まれる点に、この直線がX-Y平面と交わる点を対応させると、X_1はX-Y平面上のリング状の領域に写像されます。これがX_2と同相であることは明らかでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

…ということは、
x_1とS^2が同相であること、X_2とS^2が同相であることを言えばいのでしょうか??

回答No.2

grothendieck

x_1やX_2とS^2は同相ではありません（S^2は単連結、x_1とX_2は単連結でない）。ここで考えるのは複素関数論のリーマン球の立体射影と同様の対応です。

お礼

回答ありがとうございました!!
解決しました!!