幾何学の問題です。

質問

幾何学の問題が解けなくて困っています。
どなたかわかりやすく教えてください。
よろしくお願いします(> <;)

Ｓ^2＝{(x,y,z)∈Ｒ^3| x^2＋y^2＋z^2＝１}
をＲ^2の開集合と微分同相な開集合で被覆せよ。
そのときの微分同相写像も記せ。

という問題で、Ｒは実数全体の意味です。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

R^2の開集合としてR^2全体をとり
B_1=S^2-{(0,0,-1)},(1点(0,0,-1)以外のS^2の点集合)
B_2=S^2-{(0,0,1)},(1点(0,0,1)以外のS^2の点集合)
とする

f_1:B_1→R^2
f_1(x,y,z)=(2x/(1+z),2y/(1+z))
とすれば、
(f_1)^{-1}(X,Y)=(4X/(4+X^2+Y^2),4Y/(4+X^2+Y^2),(4-X^2-Y^2)/(4+X^2+Y^2))
となってf_1は同相写像

f_2:B_2→R^2
f_2(x,y,z)=(2x/(1-z),2y/(1-z))
とすれば、
(f_2)^{-1}(X,Y)=(4X/(4+X^2+Y^2),4Y/(4+X^2+Y^2),(X^2+Y^2-4)/(4+X^2+Y^2))
となってf_2は同相写像

お礼

遅くなりましたが、回答ありがとうございました。
一点を取り除いた開集合で求めるという考え方をヒントに解いたら、無事解決しました。

イメージしやすかったので、muturajcpさんの回答をベストアンサーに選ばせていただきます。

回答No.4

noname#152422

3番はステレオグラフィックプロジェクションと言われるもの。関数論でおなじみのはず。

なお、よく使われるステレオグラフィックプロジェクションにはもう一種類ある。

xy平面、yz平面、zx平面に射影したものを考えてもいい。

球面座標と、yとzを交換してから球面座標を考えたものを組み合わせてもいい。

数学的でない思いつき方として、世界地図をどう作るかを考えて、どの地点も漏らさずしかも端っこにならない図面が載るようにするにはどうするかと考えるのも手です。

これら以外にも答えは無数にありますので考えてみてください。

＞10冊

球面は多様体の例として必ず載っているはずなんですが、おかしいですね。

お礼

遅くなりましたが、回答ありがとうございました。
何度も回答していただいて申し訳ないのですが、qyueen997さんの説明は私には難しかったです。

回答No.2

noname#152422

あなたがもっている多様体の本に書いてあります。

もし書かれていなければそれは多様体の教科書ではありません。

もしもっていなければ、買うか誰かに借りるかしてください。
一般の図書館にも置いてあるはず。

補足

図書館にある本は10冊近く読んでみて、
Ｒ^2の開集合をＡとおき、そのＡと微分同相な開集合をＢとした場合に、ＵＢ_λ＝Ｓ^2 (λ∈Λ)を満たせばいいんじゃないかとは思ったんですけど…

そのときのＡをどのようにとればいいのかわからないんです。
良かったらヒントを下さいませんか？

回答No.1

noname#152422

多様体の教科書に書いてある。

補足

回答ありがとうございます。
お手持ち教科書の名前を教えてください。