楕円と円が微分同相であること

質問

円：S^1={(x,y)∈R^2 | x^2+y^2=1}
楕円：E={(x,y)∈R^2 | (x/a)^2+(y/b)^2=1}
に対して，原点を通る任意の半直線はE,S^1のそれぞれ一点で交わる．
それらの点を p∈E，q∈S^1 とするとき，q を p に写すことで，S^1 から E への写像 Π が定まる．
このとき，Πが微分同相写像であることを示せ．

といった問題について教えてください．

微分同相写像であることを示すには，
　Π：同相写像 かつ Π および Π^(-1) がC^∞写像
を示せばいいと思いますが，そもそも Π がどういった写像になるのかが記述できなくて困っています．
半直線と円の交点から，楕円との交点へと写す写像はどう書けるのでしょうか？

よろしくお願いします．

回答No.2

alice_44

円上の点 (cosθ, sinθ) と楕円上の点 (r cosθ, r sinθ) が対応すると考えて、
(x, y) = (r cosθ, r sinθ) を (x/a)^2+(y/b)^2=1に へ代入すると、
1/r^2 = (cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2 が判り、
Π : (cosθ, sinθ) → (cosθ/√( (cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2 ), sinθ/√( (cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2 ) )
という写像であることが解かる。
θ を消去して x, y の式にするのは、面倒なのでパス。
たぶん、(x, y) の象限によって場合分けとか必要になる。

ところで、円と楕円が微分同相であることを示すだけなら、
Π よりも (x, y) → (ax, by) を使った方が簡単だけど。

回答No.1

muturajcp

p=(x,y)∈S^1
q=(X,Y)=Π(p)
=Π(x,y)=(x,y)ab/√{(bx)^2+(ay)^2}