Rの微分同相で一次関数以外にありますか？

質問

f:R→RをC^∞微分同相写像であり、
fとその逆函数gのすべての微分が有界であるとします。
そのような函数の例として一次函数f(x)=ax+b
があると思うのですが、これ以外の函数は存在しないのでしょうか。
それとも反例は見つけられないものでしょうか。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

adinatさん、こんにちは。問題の関数は多数あると思います。例えば
　y = x + (1/2)sin x
としてみましょう。
　y' = 1 + (1/2)cos x >0
だから、狭義単調増加でx→±∞のときy→±∞であり、RからRへの全単射であることは明らかだと思います。逆関数の全ての階数の導関数も存在します。y=g(x)の逆関数x=f(y)の高階導関数はBellの多項式を用いて求めることができます。fのk階導関数をfkの様に表わすと、Bellの多項式でfnの係数はg1^nだから
　fn = (f1,…fn-1,g1,…gnの多項式)/g1^n
でBellの多項式はg1についてn次以下だからg1が決して0にならなければ、逆関数の全ての階数の導関数も有界です。Bellの多項式については、一松信他、「数学公式I」(岩波) p.6-8などを御覧下さい。

お礼

ありがとうございます。自分でも投稿後にy=2x+sin xなんかいいかな、と思いました。超函数論を勉強していて、合成函数の微分公式が成り立つのか試していて、二階の部分が消えないC^∞微分同相で、例の条件を満たすものを探していたのですが、これでどうやら反例になりそうです。C^∞ではなくて正則同型に限ると恐らく多項式になるんでしたよね。