位相空間の同相について

質問

位相空間(X,Ox)と(Y,Oy)で、全単射f:X→Yに対して、ｆおよび逆写像f^(-1)がともに連続であるときｆを位相写像といい、f:X→Yなる位相写像が存在するとき、(X,Ox)と(Y,Oy)は同相（同位相）であるというのでした。

位相空間（X,Ox）に対し、直積空間X×Xに適当な位相O’を入れたとき、
（X×X , O'）と元の位相空間（X,Ox)は同相ではないと思うのですが、証明はどのようにしたらいいでしょうか。
位相写像が存在しない、ということを言えばいいと思いますが、存在しない、ということをどのように示したらいいのかがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>位相空間（X,Ox）に対し、直積空間X×Xに適当な位相O’を入れたとき、
>（X×X , O'）と元の位相空間（X,Ox)は同相ではないと思うのですが、

表現があまりに適当で・・・

例えば，Ox，O'をともに離散位相とすれば
すべての写像が連続であり
また，XとXxXには全単射が存在するから
結果「同位相」です．

直積には「直積位相」が入りますから
それを入れた場合にどうなるか？ということならば
話はまったく違います．

例えば，RとR^2なんかの場合は
一点を除いた場合に，一方は連結，他方は連結ではないので
同相ではないと示せます．
同相ではないことを示すには
同相であれば成り立つことが成り立たないという
背理法を使うのが定石のひとつです．

一般に
Xと直積位相をいれたXxXが常に同相ではないかは
私は知りませんが
一般的な結論はないか
あってもかなり難解ではないかとおもいます
＃キュネットの定理というのがあって
＃直積のホモロジー群は計算できるのですが
＃かなり複雑な公式です．

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
やっと理解できました！