美しい解答を

質問

ＡＢ＝２，ＢＣ＝１，ＣＤ＝１，ＤＥ＝１，ＥＡ＝１の線分が連結して
長方形ＡＢＣＥを作っています。
いま，ＣＥの中点Ｄを，ＡＢの中点に近づけて行くとき，
それらの線分で囲まれた多角形の面積は，減少して行くと思われます。
Ｄが，どのくらい線分ＡＢに近づくと，その面積は半分になるか。

回答No.7

gohtraw · ベストアンサー

ＢＣがＢを中心として回転すると考え、元のＢＣからの回転角をθとしてＤの座標をθで表わし（ＣＤの長さが１より）、多角形の面積が元の長方形の半分とおけば解けるはずと思ったのですが、式としては美しくなさそうです。

お礼

参考になりました.
Ｄの元の位置をＦとしたとき
ＥＦとＡＤが平行になるときです！！！！
アドバイスありがとうございました。

補足

式が美しくなくとも
その発想は充分に美しい。

回答No.8

htms42

＞グラフが直線になる。
ということは１次関数になっているということですか。
これは美しい発見です.

＃６に式が出ています。
＞x+√(1+x^2)*√(1-(1+x^2)/4)=1

ｙ＝x+√(1+x^2)*√(1-(1+x^2)/4)－１
とするとｙ＝０の解、ｘ＝αのところでｙはＸ軸を交差します。
当然ｘ＝αの近くでは直線で近似出来ます。でも解がわからなければこの直線は決まりません。
＃４に書かれている直線は結果なんです。
＃４ではｘ＝０．００００１から順番に値を入れていっています。
１．０００００まで入れたということですから１０００００項計算したということになりますね。
そこからさらに分割を細かくしてやり直しておられるのでしょう。
０．８７０７９１４４７となるためにはさらに１０００項以上計算している事になりますね。

質問者様が一体何を期待しているのかがわかりません。
「美しい」という基準がわからないのです。
＃４で直線になったということに対して「美しい」と言っておられます。でも「短い区間で考えれば曲線は直線で近似できる」というのは普通に言えることなんです。「美しい」と言っておられる理由がわかりません。
＃７でも「その発想が美しい」と言っておられます。
でも＃６様が「美しくはないですが」と言いながら書かれた式と同じ内容です。角度の取り方が違うだけです。＃４様が使っている式は＃６に書いてある式と同じものです。
＃７の解き方はどちらかと言うと代数的です。＃６の方は幾何的です。

どちらの式も、求めるのは難しいものではありません。
でも解を求めるのが難しいのです。
ｅｘｃｅｌを使って解くということになります。

質問者様はこの式は求められましたか。
どこまでを自分でやっておられるのですか。
ここまでは自分でやったがどうもスッキリしないのでもっとスッキリしたとき方はないかという質問ではないのですか。
だから＃６様、＃７様はご自分で「美しくない」と言っておられるのです。
でも質問者様の基準は異なるようですね。
そして＃６の式、＃７の式、どちらも求めてはおられないのですね。

＃３には
＞答えではなく，“美しい解答を”です。
計算機にさせた計算式が美しければそれを是非。
とあります。

これは＃６、＃７にある式を解くときのアルゴリズムについていっておられることでしょうか、
それとも計算機で解くときには、＃６、＃７とは別の式が使えるかも知れないということでしょうか。

答えでなくて解き方だということであれば
ｘ＝０．１３とわかれば充分だ　ということでしょうか。
それともやはり０．１３・・・・と８桁ぐらいまで欲しいということでしょうか。
ｘ＝０．１３　であれば＃６の式を使うと普通の電卓でも計算できます。
式さえ出れば終わりという事になります。

「逐次近似」の方法を使えばｅｘｃｅｌだと１０項ぐらいの計算で８桁程度の結果は得られるはずです。でも用いる式は＃６にあるものと同じです。

こういうものについてはどういう評価を下されるのでしょうか。

式を教えてください、
式の解き方を教えてください、
この式とは別の式はありませんか、
この解き方とは異なる解き方はありませんか。
・・・・
どれでしょう。

ｘ＝０．１３が出れば終わりというのが私の感覚です。
その桁を上げることを「美しい」こととは思いません。

同じ８桁の値を求めるのでも出来るだけ計算回数を少なくして求めるというのは又別の問題です。
逐次近似で解く場合でも
＃６の上の式よりは、下にある４次式
x^4+2x^2-8x+1=0
または、(ｘ^2＋１)^2－８ｘ＝０
を用いる方がスッキリしているでしょう。

お礼

(ｘ^2＋１)^2－８ｘ＝０
(ｘ^2＋１)^2＝８ｘ
は幾何的なヒントになる美しい式だと思います。

補足

ご指摘ありがとうございます.
私は,４次方程式から解を求めるところまでは出来ました.
“どのくらい”という表現が，近似値を招いてしまいました。
私は，その点Ｄを作図で求めるとか，どこかがある特別な角度になるときとかを探しています.

回答No.6

nag0720

美しくはないですが、力ずくで解いてみました。

ABの中点からDまでの長さをxとすると、面積は、

x+√(1+x^2)*√(1-(1+x^2)/4)

これが全体の面積２の半分になるには、

x+√(1+x^2)*√(1-(1+x^2)/4)=1

これを整理すると、

x^4+2x^2-8x+1=0

この四次方程式を解けばいいんですが、時間がかかりましたが解がでました。

x=((√(2p-2)-√(4√(p^2-1)-2p-2))/2
ただし、
p=((100+4√621)^(1/3)+(100-4√621)^(1/3)+1)/3
（^(1/3)は3乗根です）

Excelで計算してみたら

x=0.129208552245284

となりました。

回答No.5

gohtraw

Ｎｏ．１を書いた者です。失礼致しました。「美しく」解けないか考えてみます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

sono0315

計算はエクセルで十分できます

1列目　ｘ
0.00000
0.00001
0.00002
…
1.00000

2列目　1-x
=1-A1

3列目　1,1-xの2辺をもつ直角三角形の面積
=B1/2

4列目　その直角三角形の斜辺
=sqrt(1+B1^2)

5列目　4列目の斜辺と1,1の長さの2等辺三角形の高さ
=sqrt(1-(D1/2)^2)

6列目　その三角形の面積
=D1*E1/2

6列目 全面積
=2*(C1+F1)

この全面積が1となるときが答えになります。
だいたい0.870791447

グラフの横軸をx、縦を面積としている

お礼

グラフが直線になる。
ということは
１次関数になっているということですか。
これは美しい発見です.

補足

３次方程式とか４次方程式ではなく
１次方程式で近似できるということですか。

回答No.3

sono0315

おそらくD点が動くとそれと同時にC,E点も動いていくと
いう問題なんでしょう。線分の長さが固定なので、
D点だけをABの中点に近づけていくとDE,CDが長くなってしまう。

計算機で移動量xを変化させたときの面積を計算しました。
ｘ＝0.87079のときに面積がだいたい半分になります。

手計算でも解けます。

補足

ありがとうございます。
答えではなく，
“美しい解答を”
です。
計算機にさせた計算式が美しければ
それを是非。

回答No.2

gohtraw

補足です。三角形ＣＤＥの面積が長方形ＡＢＣＤの半分になるわけで、これは上記の三角形の底辺をＣＥとしたときにその高さがＡＥ（またはＢＣ）となることを意味します。

回答No.1

gohtraw

多角形ＡＢＣＤＥの面積が長方形ＡＢＣＥの面積の半分になるということでしょうか？だとするとＤがＡＢの中点と一致するときではありませんか？

補足

説明不足でした。
線分の長さは，変化しません。あくまで連結です。