高校数学・解答をお願いします

質問

解答を教えてください。
よろしくお願い致します。

１、
AB=3、BC=BD=4、AC=CD=DA=2
である四面体ABCDがあり、
辺CDの中点をMとする。
このとき四面体ABCDの体積を求めよ。

２、
円に内接する
四角形ABCDにおいて、
AB=1、BC=2、CD=3、DA=4
とする。
(1)cosBの値および線分ACの長さを求めよ。
(2)四角形ABCDの面積を求めよ。
(3)線分AC、BDの交点をEとするとき、BE:EDを求めよ。

回答No.4

yyssaa

１、
BからAM上に下ろした垂線の足をO。BM^2=4^2-1^2=15
BO^2+OM^2=BM^2=15
BO^2+(√3-OM)^2=AB^2=9
　→　15-OM^2+3-2OM√3+OM^2=9
2OM√3=9　→　OM=9/(2√3)
　→　BO^2=15-81/12=99/12=33/4　→　BO=(√33)/2
ABCDの体積=(1/3)*△ACDの面積*BO
=(1/3)(√3)(√33)/2=(√11)/2
２（１）
AC^2=1^2+2^2-2*1*2cosB=5-4cosB
AC^2=3^2+4^2-2*3*4cos(π-B)=25+24cosB
5-4cosB=25+24cosB　→　cosB=-20/28=-5/7
AC^2=5-4cosB=5+20/7=55/7　→　AC=√(55/7)
（２）
△ABCの面積=(1/2)*2*1sinB=√(1-25/49)
=√(24/49)=2(√6)/7
△ACDの面積=(1/2)*3*4sinB=6*2(√6)/7
=12(√6)/7
四角形ABCDの面積=△ABCの面積+△ACDの面積
=2(√6)/7 + 12(√6)/7=2√6
（３）
BとEからACにそれぞれ垂線を下ろすとBE:EDは
その垂線の長さの比であり、
すなわち△ABCの面積：△ACDの面積となる。
よってBE:ED=2(√6)/7:12(√6)/7=1:6

回答No.3

info22_

#2です。

引き続き
２．添付の図２を参照して下さい。

(1)
∠B+∠D=180°で∠B＞90°＞∠Dなので
∠D=θ（θは鋭角）とおくと∠B=180°-θ
cosD=cosθ,cosB=-cosθ＜0
△ABCと△ACDについて余弦定理より
AC^2=4+1+4cosθ=16+9-24cosθ
28cosθ=20
cosθ=5/7
∴cosB=-cosθ=-5/7

AC^2=4+1+4(5/7)=55/7
∴AC=(√385)/7

(2)
(1)よりcosB=-cosθ=-5/7,cosD=cosθ=5/7
sinB=sinD=sinθ=2(√6)/7
四角形ABCD=△ABC+△ACD
　=(1/2)*2*1*sinθ+(1/2)*3*4sinθ
　=(1/2)(2+12)*2(√6)/7
　=2√6

(3)
△ABE∽△DCEより　BE/CE=AE/DE=1/3
BE=CE/3, DE=3AE ...(A)
△ADE∽△BCEより　BE/AE=CE/DE=2/4
BE=AE/2, DE=2CE ...(B)

(A)より　BE/DE=(1/9)CE/AE
(B)より　BE/DE=(1/4)AE/CE
掛けて　(BE/DE)^2=(1/36)
　∴BE/ED=BE/DE=1/6

回答No.2

info22_

取り敢えず
1.
△ACDは一辺の長さ2の正三角形ゆえ、AM=√3
△BCDはBC=BD=4の二等辺三角形なのでAM⊥CD,CM=DM=CD/2=2

直角△BCMで三平方の定理より
BM=√(4^2-1^2)=√15
Aから二等辺△BCDに下ろした垂線AHの足Hは、
四面体ABCDの対称性から、線分AM上にあり
AH⊥BMでもある。
△ABMでヘロンの公式より
s=(3+√3+√15)/2
△ABM=S=√(s(s-3)(s-√3)(s-√15))
=(1/4)√((3+√3+√15)(-3+√3+√15)(3-√3+√15)(3+√3-√15))
=(1/4)√((-9+(√3+√15)^2)(9-(√3-√15)^2))
=(1/4)√((9+6√5)(-9+6√5))
=(3/4)√((3+2√5)(-3+2√5))
=(3/4)√(20-9)
=(3/4)√11

AH=2S/BM=2(3/4)(√11)/√15
=(√165)/10

四面体ABCDの体積
V=(1/3)AH*△BCD=(1/3)AH*(1/2)CD*BM
=(1/6)((√165)/10)*2*√15
=(√11)/2

回答No.1

Cupper-2

答え【だけ】を求めているのでしょうが、
それでは問題の解決にはならないので、
解決に至るヒントを出しますね。
（たぶん質問者さんはそんなことを望んではいないと思いますけど）

設問の図形を図に描いてみましょう。
（元の設問に図形が描かれていることもありますが、自身でなるべく正確に描き直す）

１，四角錐や三角錐、円錐の体積の求め方は分かりますよね。
　　分からないのでしたら、その旨補足してください。
　　錘の退席の求め方が分からないのでは、絶対に解けない問題です。

　　４面体がどんな形になるのか分からないなら、それも伝えてください。

２，円に内接する…ってのは忘れてOK。
　　cosB ってのは cos∠B ってことかな。

とりあえず、正確な図を描いてみることに集中してみましょう。

でなければ、この問題ははじめから解かずに他の問題を解くために時間を掛けましょう。

お礼

ありがとうございました。
自力で頑張ってみます。