高校入試数学 相似

質問

次の問題の考え方、解答を教えてください。

長方形ＡＢＣＤがあり、点Ｅは辺ＢＣの延長上の点でＢＣ：CE＝2：１である。辺ＡＢ上に、点Ｆをとり、線分ＥＦと対角線ＢＤ、辺ＣＤとの交点をそれぞれＧ，Ｈとする。
四角形ＡＦＧＤの面積と△ＢＥＧの面積が等しいとき、線分ＣＨの長さは線分ＨＤの長さの何倍か。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

四角形ＡＦＧＤの面積と△ＢＥＧの面積が等しいということは、△ＤＡＢと△ＥＦＢの面積がひとしいということです。この二つの三角形についてＡＢおよびＦＢを底辺と考えると、高さはそれぞれＡＣとＢＥになり、その比は２：３なので、ＡＢとＦＢの比は３：２であることが判ります。

つぎに△ＦＥＢと△ＨＥＢについて考えると、両者は相似で、その相似比は３：１です。従ってＨＣの長さはＦＢの長さの１／３、つまりＣＤの２／９になります。よってＣＨの長さはＨＤの長さの２／７です。

お礼

ありがとうございました。
途中の△ＨＥＢは△ＨＥＣですね。
でも　よくわかりました。

回答No.2

tengenseki

四角形ＡＦＧＤの面積及び△ＢＥＧの面積をＳとする。
辺ＡＢの長さをＸとする。
線分ＣＨの長さをａとする。
線分ＢＦの長さをｂとする
線分ＨＤの長さをｃとする

Ｓ＝２Ｘ／２－（（３ｂ／２）－Ｓ）

　＝Ｘ－（３ｂ／２）＋Ｓ

Ｘ＝１・５ｂ

△ＢＥＦと△ＣＥＨは相似だから、線分ＢＦの長さは線分ＣＨの長さの
３倍である。

ｂ＝３ａ

Ｘ＝４・５ａ＝ａ＋ｃ

ｃ＝３．５ａ

従って線分ＣＨの長さは、線分ＨＤの長さの１／３．５倍である。

お礼

ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。