平面図形の問題

質問

図のような△ABCがある。辺BC上に点Dを、辺CA上に点Eを、辺AB上に点Fを、BD/DC=CE/EA=AF/FB=1/2となるようにとる。さらに、線分ADと線分CFとの交点をP、線分ADと線分BEとの交点をQ、線分CFと線分BEとの交点をRとする。
△PQRと△ABCの面積比△PQR/△ABCの値を求めよ。

という問題の解き方を教えてもらえないでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

図のような△ABCがある。辺BC上に点Dを、辺CA上に点Eを、辺AB上に点Fを、BD/DC=CE/EA=AF/FB=1/2となるようにとる。さらに、線分ADと線分CFとの交点をP、線分ADと線分BEとの交点をQ、線分CFと線分BEとの交点をRとする。
＞△PQRと△ABCの面積比△PQR/△ABCの値を求めよ。
メネラウスの定理より、
（ＡＦ／ＦＢ）・（ＢＣ／ＣＤ）・（ＤＰ／ＰＡ）＝１より、
（１／２）・（３／２）・（ＤＰ／ＰＡ）＝１より、ＤＰ：ＰＡ＝４：３　……（１）
同様にして、ＥＲ：ＲＢ＝４：３　……（２）これから、ベクトルＡＢ，ＡＣで表すと、
ＡＲ＝(4/7)ＡＢ＋(3/7)ＡＥ　ＡＥ＝(2/3)ＡＣより、
＝(4/7)ＡＢ＋(3/7)・(2/3)ＡＣ
＝(4/7)ＡＢ＋(2/7)ＡＣ　……（３）
Ａ，Ｒ，Ｄは一直線上にあるから、
ＡＲ＝ｋＡＤとおける。ＡＤ＝(2/3)ＡＢ＋(1/3)ＡＣより、
ＡＲ＝(2/3)ｋＡＢ＋(1/3)ｋＡＣ　……（４）
（３）（４）を係数比較して、
（２／３）ｋ＝４／７，（１／３）ｋ＝２／７
よって、ｋ＝６／７
ＡＲ＝(6/7)ＡＤより、ＡＲ：ＡＤ＝６：７　だから、ＡＲ：ＲＤ＝６：１
（１）より、ＡＰ：ＡＤ＝３：７だから、ＡＰ：ＡＲ＝３：６　よって、ＡＰ：ＰＲ＝３：３
以上より、ＡＰ：ＰＲ：ＲＤ＝３：３：１
同様にして、メネラウスの定理より、
（ＡＦ／ＦＢ）・（ＢＱ／ＱＲ）・（ＲＰ／ＰＡ）＝１より、
（１／２）・（ＢＱ／ＱＲ）・（３／３）＝１から、ＢＱ：ＱＲ＝２：１
これと（２）より、ＢＲ：ＲＱ：ＱＥ＝３：３：１

△ＡＢＥと△ＡＢＣで、Ｂを頂点と見ると高さが同じだから、面積比＝底辺の比だから、
△ＡＢＥ：△ＡＢＣ＝ＡＥ：ＡＣ＝２：３より、
△ＡＢＥ＝(2/3)△ＡＢＣ
△ＡＲＱと△ＡＢＥで、頂点をＡと見ると、
△ＡＲＱ：△ＡＢＥ＝ＲＱ：ＢＥ＝３：７より、
△ＡＲＱ＝(3/7)△ＡＢＥ＝(3/7)×(2/3)△ＡＢＣ
△ＰＱＲと△ＡＲＱで、頂点をＱと見ると、
△ＰＱＲ：△ＡＲＱ＝ＰＲ：ＡＲ＝３：６＝１：２より、
△ＰＱＲ＝(1/2)△ＡＲＱ＝(1/2)×(3/7)×(2/3)△ＡＢＣ＝(1/7)△ＡＢＣ
よって、△ＰＱＲ／△ＡＢＣ＝１／７

でどうでしょうか？図を描いて考えて下さい。

お礼

回答ありがとうございました！非常に分かりやすかったです！

回答No.3

f272

(図形全体）=((三角形ABC)-(三角形PQR))*2+(三角形PQR)=(三角形PQR)*13
だから
(三角形PQR)/(三角形ABC)=1/7

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.2

nag0720

線分BDを2：1に内分する点をGとすると、
GC：DC＝7：6
FGとADは並行だから、
GC：DC＝FC：PC＝△AFC：△APC＝7：6
△AFCは△ABCの1/3だから、△APCは△ABCの2/7となり、
△APC/△ABC＝2/7
同様に、△BQA/△ABC＝2/7、△CRB/△ABC＝2/7
△PQR＝△ABC-(△APC+△BQA+△CRB)
△PQR/△ABC＝1-(2/7+2/7+2/7)=1/7

お礼

回答ありがとうございました！とても参考になりました！