平面図形の問題です。お願い致します。

質問

長方形ＡＢＣＤがあり、点Ｅは辺ＢＣの延長上の点で、ＢＣ：ＣＥ＝２：１です。辺ＡＢ上に、２点Ａ，Ｂと異なる点Ｆをとり、点Ｅと点Ｆを結びます。また、線分ＥＦと対角線ＢＤ、辺ＣＤとの交点をそれぞれＧ，Ｈとします。四角形ＡＦＧＤの面積と△ＢＥＧの面積が等しいとき、線分ＣＨの長さは線分ＨＤの長さの何倍になりますか。

回答No.2

yyssaa

＞四角形AFGDの面積と△BEGの面積が等しいということは、
それぞれに△BGFの面積を加えた△ABDの面積と△BEFの面積
が等しいということだから、(1/2)を省略してAB*2=BF*3、
よってBF=(2/3)*AB、AB=CH+HDだからBF=(2/3)*(CH+HD)
△BEF∽△CEHだからCH/BF=1/3、上式を代入して
CH/{(2/3)*(CH+HD)}=1/3、CHを求めるとCH=(2/7)*HD
よって、線分ＣＨの長さは線分ＨＤの長さの2/7倍・・・答

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

j-mini27

前提として
　長方形ABCDにおいて
　　AD＝BC＝x
　　AB＝DC＝y
　CHがCDのa倍として考えていきます。

四角形AFGDの面積は
　△ABD－△FGB
△BEGの面積は
　△EBF－△FGB
この2つの面積が等しいときなので
　△ABD－△FGB＝△EBF－△FGB
両辺に共通する△FGBを引くと
　△ABD＝△EBF
というときのaの値が分かればよいことになります。

△ABD＝1/2xy
△EBF∽△ECH（∠E共通、平行な2直線の同位角で∠ECH=∠EBF、2角がそれぞれ等しい）
　相似比はCE：BE=1：3
　FB=3ay
△EBF=1/2⋇3ay⋇2/3x=9/4axy

△ABD=△EBFのときなので
　1/2xy=9/4axy
　1/2=9/4a
　　a=2/9

CHはCDの2/9
HDはCDの7/9
　CHはHDの2/7倍になります。

お礼

早速にお答えいただきありがとうございました。活用させていただきます。