平面図形

質問

問題：△ABCの３辺AB,BC,CAの中点をそれぞれD,E,Fとする.中線AE,BF,CDと等しい長さの線分を３辺とする三角形をPQRとするとき,△ABCと△PQRの面積比を求めよ.
　　　　　　　　　　　　　　　　（答）・・・4：3
なんですが、解き方が全く思いつきません。自分としては、中点だから中線AE,BF,CDの交点が重心になるのでそれも何か関係するのかと思うんですが。後もしかしたら2つの三角形は相似で２乗して面積比を求めるのかとも思います。簡単な問題かもしれませんが解けないと気になってしまうのでぜひなぜそうなるのか教えて下さい。
一応言っときますが今は高校１年生です。

回答No.3

debut · ベストアンサー

図がかけないので説明が大変そうだけど、こんなのはどうでしょう。

△ＡＢＣを180°回転した三角形の辺ＣＡがもとの三角形のＡＣと重なる
ように置きます。（つまり全体として平行四辺形になる）

で、ここで回転してつけた三角形のＢをＢ'、ＡＢ'の中点をＤ'とします。
すぐにわかるように、ＢＢ'はＦを通る平行四辺形ＡＢＣＢ'の対角線で
あり、また、ＣＤ＝Ｄ'Ａです。

そして、ＥＤ'は△ＣＢＢ'で中点連結定理からＢＢ'の1/2の長さ、つまり
ＢＦの長さと等しくなります。

これらのことから、△ＰＱＲとなるべき部分は△ＡＥＤ'に置き換えられま
した。

次に、もとの三角形の重心をＧ、ＡＣとＥＤ'の交点をＨとすると、
ＡＧ：ＧＥ＝２：１と△ＡＧＦ∽△ＡＥＨであることから
ＡＦ：ＦＨ＝２：１で、ＡＦ：ＡＨ＝２：３　。

すると、△ＡＥＤ'の面積はＥＤ'を底辺として、△ＡＢＢ'（底辺ＢＢ'）
の面積と比べることができ、△ＡＥＤ'の底辺は△ＡＢＢ'の底辺の1/2倍、
△ＡＥＤ'の高さは△ＡＢＢ'の高さの3/2倍（先ほどのＡＦ：ＡＨが２：３
になることより）だから、△ＡＥＤ'の面積は△ＡＢＢ'の面積の1/2×3/2
＝3/4倍となります。

ところで、△ＡＢＢ'は平行四辺形ＡＢＣＢ'の1/2、つまりもとの△ＡＢＣ
の面積と等しいことがいえます。

結局、△ＡＢＣと△ＡＥＤ'の面積比は１：3/4＝４：３

回答No.2

sanori

考えてみました。
最後までちゃんと確かめてないですが、たぶん、こうです。

中線ＢＦを、点Ｆが点Ａに重なるように平行移動したとき、点Ｅの移動先をＰと置く。

中線ＣＤを、点Ｃが点Ｅに重なるように平行移動したとき、点Ｄの移動先は、さっきのＰと丁度一致する。（答案には証明要）

・・・こうして三角形△ＡＥＰができます。
（これが、面積を求める三角形です）

ＰＥとＡＢの交点をＯと置く。

ここで三角形△ＯＢＥは、三角形△ＤＢＣを見比べると、相似であることに気づく。（答案では証明要）

すると、一辺の長さの比が、ＢＥ：ＢＣ＝１：２なので、
相似な図形の面積は一辺の長さの２乗に比例するから
面積△ＯＢＥ：面積△ＤＢＣ＝１：４

ところが△ＯＢＥは、△ＡＢＣを２等分したものなので、
面積△ＯＢＥ：面積△ＡＢＣ＝８：１　・・・（ア）

次に、三角形△ＡＯＥに着目する。
三角形△ＡＯＥは、求める面積の三角形△ＡＥＰを２等分したもの。（答案では証明要）
したがって
面積△ＡＯＥ：面積△ＡＥＰ＝１：２

ところが、三角形△ＡＯＥは、△ＡＢＥから△ＯＢＥを切り取ったものなので、

△ＡＯＥ＝△ＡＢＥ－△ＯＢＥ

さらに、△ＡＢＥは、元の三角形△ＡＢＣの半分なので

△ＡＯＥ＝△ＡＢＣ×１／２－△ＯＢＥ

さらに、結果（ア）より、
△ＯＢＥ＝△ＡＢＣ×１／８
であるから

△ＡＯＥ＝△ＡＢＣ×（１／２－１／８）
　　＝△ＡＢＣ×３／８

ところが、△ＡＯＥは、面積を求める三角形△ＡＥＰの半分

・・・ですから

ばたばたーっと書いたので、どっか誤字あるかもしれませんが、悪しからず。

回答No.1

river6368

△ＡＢＣは正三角形ですか？

補足

違うと思います。問題には書いてありません。