確率・場合の数の問題

質問

数学の問題集で分からない問題があります。
基本的な質問かもしれませんが、宜しくお願いします。

問い：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人が手をつないで輪を作る方法は何通りあるか？　　答えは２４通りです。

場合の数でnPrとnCrに当てはめてやる公式がありますよね？それを使うとどうゆう解法になるんでしょうか？もちろん、解答者の独自の考え方も教えて下さい。

早急な解答をお待ちしています。

回答No.4

guowu-x · ベストアンサー

円順列は（ｎ－１）！というのは、どんな教科書、参考書にでも載っているので参照してください。
とはいいつつ、私なりの考え方を少し…。
まあ、要はどれか1つを固定するのですが、これで分かりにくければ次のように考えてみては？(全く同じことだけどね）
A,B,C,D,Eの5人のうち、あなたが誰か一人になりきりましょう。
例えばAさんになりきりましょう。
すると、あなたの周りにはB.C,D,Eの4人の人がいます。Aであるあなたが見ている景色は、4人の人が並んでいる様子です。
この、4人の人の並び方は全部で何通りありますか。
４！＝２４通りですね。
あなたが見ることの出来る景色(４人の並び方）はちょうど２４通りなわけです。
円順列の問題では、このようにどれか１つに自分がなりきって考えるとうまくいくことが多いです。
この、どれか１つになりきることを、参考書なんかではどれか１つを固定する、と書いているわけです。
参考まで。

お礼

一度解いた問題ですけど、公式とかすっかり忘れてます・・・
ただ（n-1）！という公式を覚えるのではなく、その意味を分かりやすく教えて頂いて、どうもありがとうございました。

回答No.3

weasel

円順列だと
　　　Ａ　　　　　　　Ａ
　　Ｂ　Ｃ　　　　　Ｃ　Ｂ
　　Ｄ　Ｅ　　　　　Ｅ　Ｄ
は別の円ですが
ちなみにネックレスとかだと（なぜかネックレスで出される事が多い）
裏返す事が出来るので商品として出すなら（ビーズアクセサリーのほうが良いかもしれない）
両者は同じですよね？
だから（ｎ－１）！／２となります。

回答No.2

nickdayo

誰か１人の人（例えばA）の位置を固定してしまえばよいです。
例えばAの座る位置を決めたとします。
円形に並べればいいので、Aさんの位置を決めてしまっても一般性は失いませんね。
すると・・・
１．Aの右隣に人を配置する方法は４通り。
２．さらにその右隣に人を配置する方法は３通り。
３．さらにその右隣に人を配置する方法は２通り。
４．残りの１つの席（Aの左隣）に人を配置する方法は１通り。
つまり、4×3×2×1です。
５人人がいて、その人たちを円形に並べるやり方は、ある１人の位置を固定してしまえば、残りの４人を１列に並べるのと同じですね。
つまり、「場合の数」風に書くと4!となります。

結局誰か１人の位置を最初に決めてしまえば、あとは残った人を１列に並べるのと同じでした^^
(並び方は、Aの右隣からAの左隣までの円形に並んでいるのでフクザツに見えますけが)
これはもっと一般化できます。
n人の人を同じように円形に並べると、
(n-1)人の人を１列に並べるのと同じで(n-1)!となります。

お礼

詳しく教えていただき、ありがとうございます。
頭のかたい私でも理解しやすかったです。

回答No.1

weasel

円順列は（ｎ－１）！ですが。
考え方はどれを固定してもいいのですが（結局答えが一緒になる（他のものしても同じつなぎか確かでない（順番が違うだけ）））
例えばＡを固定したとすると
その輪の作り方はＡがいて
その他の場所に誰かが入る並びかただから
残りの場所は４個で４！通りになる。
式にしたら（５－１）！です。

他の考え方はＡＢＣＤＥとＥＡＢＣＤは円にしたとき同じになってしまいます。
ですがこの輪の作り方を構成するＡＢＣＤＥの直線の
並べ方は
ＡＢＣＤＥ
ＥＡＢＣＤ
ＤＥＡＢＣ
ＣＤＥＡＢ
ＢＣＤＥＡ
の５通りになります。
これはつまり一つの輪を作ると直線にすると５通りに表せる訳です。
逆にいうとＡＢＣＤＥを直線に並べた時の１／５が
輪の作り方ということになります。
これを式にすると
５！・（１／５）＝４！＝（５－１）！
ｎ人なら
ｎ！・（１／ｎ）＝（ｎ－１）！

お礼

ありがとうございました！