数Ａ；場合の数(nPrとnCrの違いについて)

質問

男子10人、女子５人の中から合計三人の代表を選ぶ方法は何通りか。
この問題ですが、答えでは15C3なんですが、15P3ではなんでダメなんでしょうか？
まずnCrとnPrの違いが自分にはよくわかりません。
Cの方は「異なるn個の物からr個取り出して並べる」
Pの方は「異なるn個の物からr個取り出して、一列にならべる」
一列という点で違うだけなんでしょうか？
Cの方は「自動的に並べる」みたいな意味も含まれているみたいですが、ただそれだけでじゃぁこの問題では一体なんでnPrの方で解いてはいけないのでしょうか？
詳しくお願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

15P3だと、例えば
A君、Bさん、Cさん
と
A君、Cさん、Bさん
と
Bさん、A君、Cさん
と
Bさん、Cさん、A君
と
Cさん、A君、Bさん
と
Cさん、Bさん、A君
という3人の選び方を「順序づけて、別物として」扱うわけです。
ところが、15人の中から3人を選ぶ、という行為において、
3人を選ぶ「順序」は関係ないですね。
A君、Bさん、Cさんの順に選ぼうが
他の順序で選ぼうが、その3人を選ぶことには変わりがないわけです。
これが、当該の問題において順列ではなく組合せを使う理由です。

お礼

そういう違いがあったんですか。
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

Cの方は、「異なるn個の物からr個取り出して並べる」だとは
思わないほうがよいです。「異なるn個の物からr個取り出す」
だけで、並べずに山にしておく。小袋に入れとく でもいい。
Pの方は、「異なるn個の物からr個取り出して、一列に並べる」
なので、nCr 通りの取り出し方それぞれについて、
r 個のものを一列に並べる並べ方 r! 通り分だけのバリエーション
があります。このため、nPr = (nCr)・(r!) になるのです。

合計３人の代表が、マラソン選手３人なら 15C3 だし、
短距離走、砲丸投、走高跳の選手計３人なら、15P3 です。

お礼

そういう違いがあったんですね。
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.1

maiko0318

15P3はAさん、Bさん、Cさん　と、Bさん、Aさん、Cさんを違うものとして数える
15C3はAさん、Bさん、Cさん　と、Bさん、Aさん、Cさんを同じものとして数える

競馬で言えば連勝単式と連勝複式の違い

お礼

なるほど、ありがとうございました。